（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另…——2013 高考数学第 20 题答案解析

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差

【专题】51：概率与统计．
【分析】（I）令 $\mathrm{A}_{1}$ 表示第 2 局结果为甲获胜， $\mathrm{A}_{2}$ 表示第 3 局甲参加比赛时，结果为甲负， A 表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独

立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．
（II）X的所有可能值为 $0,1,2$ ．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可。
【解答】解：（I）令 $\mathrm{A}_{1}$ 表示第 2 局结果为甲获胜． $\mathrm{A}_{2}$ 表示第 3 局甲参加比赛时，结果为甲负。A表示第4局甲当裁判。
则 $\mathrm{A}=\mathrm{A}_{1} \bullet \mathrm{~A}_{2}, \mathrm{P}(\mathrm{A})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1} \bullet \mathrm{~A}_{2}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right)=\frac{1}{4}$ ；
（II）X的所有可能值为 $0,1,2$ ．令 $\mathrm{A}_{3}$ 表示第 3 局乙和丙比赛时，结果为乙胜
$\mathrm{B}_{1}$ 表示第 1 局结果为乙获胜， $\mathrm{B}_{2}$ 表示第 2 局乙和甲比赛时，结果为乙胜， $\mathrm{B}_{3}$ 表示第 3 局乙参加比赛时，结果为乙负，
则 $P(X=0)=P\left(B_{1} B_{2} \overline{B_{3}}\right)=P\left(B_{1}\right) P\left(B_{2}\right) P\left(\overline{B_{3}}\right)=\frac{1}{8}$ ．
$P(X=2)=P\left(\overline{B_{1}} B_{3}\right)=P\left(\overline{B_{1}}\right) P\left(B_{3}\right)=\frac{1}{4}$ ．
$P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=\frac{5}{8}$ ．
从而 $\mathrm{EX}=0 \times \frac{1}{8}+1 \times \frac{5}{8}+2 \times \frac{1}{4}=\frac{9}{8}$ 。
【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．