甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3…——2020 高考数学第 25 题答案解析

【解答】
甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球。现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有 2 个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有 1 个黑球的概率为 $q_{n}$ ．
（1）求 $p_{1} \cdot q_{1}$ 和 $p_{2} \cdot q_{2}$ ；
（2）求 $2 p_{n}+q_{n}$ 与 $2 p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式和 $X_{n}$ 的数学期望 $E\left(X_{n}\right)$（用 $n$ 表示）。
【答案】（1）$p_{1}=\frac{1}{3}, q_{1}=\frac{2}{3} ; p_{2}=\frac{7}{27}, q_{2}=\frac{16}{27}$ ；② $2 p_{n}+q_{n}=\frac{1}{3}\left(2 p_{n-1}+q_{n-1}\right)+\frac{2}{3}$

【解析】

【分析】

（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；
（2）根据操作，依次求 $p_{n}, q_{n}$ ，即得递推关系，构造等比数列求得 $2 p_{n}+q_{n}$ ，最后根据数学期望公式求结果。

【详解】①$p_{1}=\frac{1 \times 3}{3 \times 3}=\frac{1}{3}, q_{1}=\frac{2 \times 3}{3 \times 3}=\frac{2}{3}$ ，
$p_{2}=p_{1} \times \frac{1 \times 3}{3 \times 3}+q_{1} \times \frac{1 \times 2}{3 \times 3}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}+\frac{2}{3} \times \frac{2}{9}=\frac{7}{27}$ ，
$q_{2}=p_{1} \times \frac{2 \times 3}{3 \times 3}+q_{1} \times \frac{1 \times 1+2 \times 2}{3 \times 3}+0=\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}+\frac{2}{3} \times \frac{5}{9}=\frac{16}{27}$
②$p_{n}=p_{n-1} \times \frac{1 \times 3}{3 \times 3}+q_{n-1} \times \frac{1 \times 2}{3 \times 3}=\frac{1}{3} p_{n-1}+\frac{2}{9} q_{n-1}$ ，

$q_{n}=p_{n-1} \times \frac{2 \times 3}{3 \times 3}+q_{n-1} \times \frac{1 \times 1+2 \times 2}{3 \times 3}+\left(1-p_{n-1}-q_{n-1}\right) \times \frac{3 \times 2}{3 \times 3}=-\frac{1}{9} q_{n-1}+\frac{2}{3}$,
因此 $2 p_{n}+q_{n}=\frac{2}{3} p_{n-1}+\frac{1}{3} q_{n-1}+\frac{2}{3}$ ，
从而 $2 p_{n}+q_{n}=\frac{1}{3}\left(2 p_{n-1}+q_{n-1}\right)+\frac{2}{3}, \therefore 2 p_{n}+q_{n}-1=\frac{1}{3}\left(2 p_{n-1}+q_{n-1}-1\right)$ ，
即 $2 p_{n}+q_{n}-1=\left(2 p_{1}+q_{1}-1\right) \frac{1}{3^{n-1}}, \therefore 2 p_{n}+q_{n}=1+\frac{1}{3^{n}}$ ．
又 $X_{n}$ 的分布列为

故 $E\left(X_{n}\right)=2 p_{n}+q_{n}=1+\frac{1}{3^{n}}$ 。
【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题．