（本小题满分 14 分） 已知曲线 C_ n : x^ 2…——2009 高考数学第 23 题答案解析

【解答】
（1）解：曲线 $C_{n}: x^{2}-2 n x+y^{2}=0(n=1,2, \ldots)$ 可化为 $(x-n)^{2}+y^{2}=n^{2}$ ，
所以，它表示以 $C_{n}(n, 0)$ 为圆心，以 n 为半径的圆，
切线 $l_{n}$ 的方程为 $y=k_{n}(x+1)$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k_{n}(x+1) \\ x^{2}-2 n x+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，消去 y 整理，得 $\left(1+k_{n}{ }^{2}\right) x^{2}+\left(2 k_{n}{ }^{2}-2 n\right) x+k_{n}{ }^{2}=0$ ，
$\Delta=\left(2 k_{n}{ }^{2}-2 n\right)^{2}-4 k_{n}{ }^{2}\left(1+k_{n}{ }^{2}\right)=4 n^{2}-4(2 n+1) k_{n}{ }^{2}, k_{n}>0$
令 $\Delta=0$ ，解得 $k_{n}{ }^{2}=\frac{n^{2}}{2 n+1}, k_{n}=\frac{n}{\sqrt{2 n+1}}$
此时，方程（1）化为 $\left(1+\frac{n^{2}}{2 n+1}\right) x^{2}+\left(\frac{2 n^{2}}{2 n+1}-2 n\right) x+\frac{n^{2}}{2 n+1}=0$
整理，得 $[(n+1) x-n]^{2}=0$ ，解得 $x_{x}=\frac{n}{n+1}$ ，
所以 $y_{n}=\frac{n}{\sqrt{2 n+1}}\left(\frac{n}{n+1}+1\right)=\frac{n}{n+1} \sqrt{2 n+1}$
∴ 数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式为 $x_{x}=\frac{n}{n+1}$
数列 $\left\{y_{n}\right\}$ 的通项公式为 $y_{n}=\frac{n}{n+1} \sqrt{2 n+1}$ 。
（2）证明：$\because \sqrt{\frac{1-x_{n}}{1+x_{n}}}=\sqrt{\frac{1-\frac{n}{n+1}}{1+\frac{n}{n+1}}}=\sqrt{\frac{1}{2 n+1}}$ ，

$$ \begin{aligned} & \frac{2 n-1}{2 n}=\sqrt{\frac{(2 n-1)^{2}}{4 n^{2}}}<\sqrt{\frac{(2 n-1)^{2}}{4 n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{2 n-1}{2 n+1}} \\ & \therefore x_{1} \cdot x_{3} \cdot x_{5} \cdots \cdots x_{2 n-1}=\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \cdots \times \frac{2 n-1}{2 n}<\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{\frac{3}{5}} \times \sqrt{\frac{5}{7}} \times \cdots \times \sqrt{\frac{2 n-1}{2 n+1}} \\ & \quad=\sqrt{\frac{1}{2 n+1}}=\sqrt{\frac{1-x_{n}}{1+x_{n}}} \\ & \because \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{1}{\sqrt{2 n+1}}=\sqrt{\frac{1-x_{n}}{1+x_{n}}}, \text { 又 } 0<\frac{1}{\sqrt{2 n+1}} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}<\frac{\pi}{4} \\ & \quad \text { 令 } \frac{x_{n}}{y_{n}}=x, \text { 则 } 0

要证明 $\frac{x_{n}}{y_{n}}<\sqrt{2} \sin \frac{x_{n}}{y_{n}}$ ，只需证明当 $0设函数 $f(x)=x-\sqrt{2} \sin x, 0则 $f^{\prime}(x)=1-\sqrt{2} \cos x, 0∵ 在区间 $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 上 $f^{\prime}(x)=1-\sqrt{2} \cos x$ 为增函数，
∴ 当 $0

$\therefore f(x)=x-\sqrt{2} \sin x$ 在区间 $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 上为单调递减函数，
$\therefore f(x)=x-\sqrt{2} \sin x$\therefore x<\sqrt{2} \sin x$ ，即 $\sqrt{\frac{1-x_{n}}{1+x_{n}}}=\frac{x_{n}}{y_{n}}<\sqrt{2} \sin \frac{x_{n}}{y_{n}}$
综上，得 $x_{1} \cdot x_{3} \cdot x_{5} \cdots x_{2 n-1}<\sqrt{\frac{1-x_{n}}{1+x_{n}}}<\sqrt{2} \sin \frac{x_{n}}{y_{n}}$