2009 ??高考数学 2009_退役省自主命题 (2009·理) 第 23 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

21．（本小题满分 14 分）
已知曲线 $C_{n}: x^{2}-2 n x+y^{2}=0(n=1,2, \ldots)$ ．从点 $P(-1,0)$ 向曲线 $C_{n}$ 引斜率为 $k_{n}\left(k_{n}>0\right)$ 的切线 $l_{n}$ ，切点为 $P_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ．
（1）求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 与 $\left\{y_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：$x_{1} \cdot x_{3} \cdot x_{5} \cdots x_{2 n-1}<\sqrt{\frac{1-x_{n}}{1+x_{n}}}<\sqrt{2} \sin \frac{x_{n}}{y_{n}}$

Accepted Answer

【解答】 （1）解：曲线 $C_{n}: x^{2}-2 n x+y^{2}=0(n=1,2, \ldots)$ 可化为 $(x-n)^{2}+y^{2}=n^{2}$ ， 所以，它表示以 $C_{n}(n, 0)$ 为圆心，以 n 为半径的圆， 切线 $l_{n}$ 的方程为 $y=k_{n}(x+1)$ ， 联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k_{n}(x+1) \ x^{2}-2 n x+y^{2}=0\end{array}ight.$ ，消去 y 整理，得 $\left(1+k_{n}{ }^{2}ight) x^{2}+\left(2 k_{n}{ }^{2}-2 night) x+k_{n}{ }^{2}=0$ ， $\Delta=\left(2 k_{n}{ }^{2}-2 night)^{2}-4 k_{n}{ }^{2}\left(1+k_{n}{ }^{2}ight)=4 n^{2}-4(2 n+1) k_{n}{ }^{2}, k_{n}>0$ 令 $\Delta=0$ ，解得 $k_{n}{ }^{2}=\frac{n^{2}}{2 n+1}, k_{n}=\frac{n}{\sqrt{2 n+1}}$ 此时，方程（1）化为 $\left(1+\frac{n^{2}}{2 n+1}ight) x^{2}+\left(\frac{2 n^{2}}{2 n+1}-2 night) x+\frac{n^{2}}{2 n+1}=0$ 整理，得 $[(n+1) x-n]^{2}=0$ ，解得 $x_{x}=\frac{n}{n+1}$ ， 所以 $y_{n}=\frac{n}{\sqrt{2 n+1}}\left(\frac{n}{n+1}+1ight)=\frac{n}{n+1} \sqrt{2 n+1}$ ∴ 数列 $\left\{x_{n}ight\}$ 的通项公式为 $x_{x}=\frac{n}{n+1}$ 数列 $\left\{y_{n}ight\}$ 的通项公式为 $y_{n}=\frac{n}{n+1} \sqrt{2 n+1}$ 。 （2）证明：$\because \sqrt{\frac{1-x_{n}}{1+x_{n}}}=\sqrt{\frac{1-\frac{n}{n+1}}{1+\frac{n}{n+1}}}=\sqrt{\frac{1}{2 n+1}}$ ， $$ \begin{aligned} & \frac{2 n-1}{2 n}=\sqrt{\frac{(2 n-1)^{2}}{4 n^{2}}}<\sqrt{\frac{(2 n-1)^{2}}{4 n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{2 n-1}{2 n+1}} \ & 	her…

2009 高考数学第 23 题答案解析

老师备课线索

返回上层