2009_退役省自主命题 (2009·理)
22．（本小题满分 14 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，对任意的正整数 $n$ ，都有 $a_{n}=5 S_{n}+1$ 成立，记 $b_{n}=\frac{4+a_{n}}{1-a_{n}}\left(n \in N^{*}\right)$ 。
（I）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）记 $c_{n}=b_{2 n}-b_{2 n-1}\left(n \in N^{*}\right)$ ，设数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证：对任意正整数 $n$ 都有 $T_{n}<\frac{3}{2}$ ；
（III）设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $R_{n}$ 。已知正实数 $\lambda$ 满足：对任意正整数 $n, R_{n} \leq \lambda n$ 恒成立，求 $\lambda$ 的最小值。
## 2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
【解答】
本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。
解：（I）当 $n=1$ 时，$a_{1}=5 a_{1}+1, \therefore a_{1}=-\frac{1}{4}$
又 $\mathrm{Q} a_{n}=5 a_{n}+1, a_{n+1}=5 a_{n+1}+1$
$\therefore a_{n+1}-a_{n}=5 a_{n+1}$ ，即 $a_{n+1}=-\frac{1}{4} a_{n}$
∴ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 成等比数列，其首项 $a_{1}=-\frac{1}{4}$ ，公比是 $q=-\frac{1}{4}$
$\therefore a_{n}=\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}$
$\therefore b_{n}=\frac{4+\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}}{1-\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}}$ ．
（II）由（I ）知 $b_{n}=4+\frac{5}{(-4)^{n}-1}$
$$ \begin{aligned} & \therefore c_{n}=b_{2 n}-b_{2 n-1}=\frac{5}{4^{2 n}-1}+\frac{5}{4^{2 n-1}+1}=\frac{25 \times 16^{n}}{\left(16^{n}-1\right)\left(16^{n}+4\right)} \\ & \quad=\frac{25 \times 16^{n}}{\left.\left(16^{n}\right)^{2}+3 \times 16^{n}-4\right)}<\frac{25 \times 16^{n}}{\left(16^{n}\right)^{2}}=\frac{25}{16^{n}} \end{aligned} $$
又 $b_{1}=3, b_{2}=\frac{13}{3}, \therefore c_{1}=\frac{4}{3}$
当 $n=1$ 时，$T_{1}<\frac{3}{2}$
当 $n \geq 2$ 时，$T_{n}<\frac{4}{3}+25 \times\left(\frac{1}{16^{2}}+\frac{1}{16^{3}}+\mathrm{K}+\frac{1}{16^{n}}\right)$
$$ =\frac{4}{3}+25 \times \frac{\frac{1}{16^{2}}\left[1-\left(\frac{1}{16}\right)^{n-1}\right]}{1-\frac{1}{16}}<\frac{4}{3}+25 \times \frac{\frac{1}{16^{2}}}{1-\frac{1}{16}}=\frac{69}{48}<\frac{3}{2} $$
（III）由（I）知 $b_{n}=4+\frac{5}{(-4)^{n}-1}$
一方面，已知 $R_{n} \leq \lambda n$ 恒成立，取 n 为大于 1 的奇数时，设 $n=2 k+1\left(k \in N^{*}\right)$
则 $R_{n}=b_{1}+b_{2}+\mathrm{K}+b_{2 k+1}$
$$ \begin{aligned} & =4 n+5 \times\left(-\frac{1}{4^{1}+1}+\frac{1}{4^{2}-1}-\frac{1}{4^{3}+1}+\mathrm{KK}-\frac{1}{4^{2 k+1}+1}\right) \\ & =4 n+5 \times\left[-\frac{1}{4^{1}+1}+\left(\frac{1}{4^{2}-1}-\frac{1}{4^{3}+1}\right)+\mathrm{KK}+\left(\frac{1}{4^{2 k}-1}-\frac{1}{4^{2 k+1}+1}\right)\right] \\ & >4 n-1 \end{aligned} $$
$\therefore \lambda n \geq R_{n}>4 n-1$ ，即 $(\lambda-4) n>-1$ 对一切大于 1 的奇数 n 恒成立
$\therefore \lambda \geq 4$ ，否则，$(\lambda-4) n>-1$ 只对满足 $n<\frac{1}{4-\lambda}$ 的正奇数 n 成立，矛盾。
另一方面，当 $\lambda=4$ 时，对一切的正整数 n 都有 $R_{n} \leq 4 n$
事实上，对任意的正整数 k ，
$$ \begin{aligned} \because b_{2 k-1}+b_{2 k} & =8+\frac{5}{\left(-\frac{1}{4}\right)^{2 k-1}-1}+\frac{5}{(-4)^{2 k}-1} \\ & =8+\frac{5}{16^{k}-1}-\frac{20}{16^{k}+4} \\ & =8-\frac{15 \times 16^{k}-40}{\left(16^{k}-1\right)\left(16^{k}+4\right)}<8 \end{aligned} $$
∴ 当 n 为偶数时，设 $n=2 m\left(m \in N^{*}\right)$
则 $R_{n}=\left(b_{1}+b_{2}\right)+\left(b_{3}+b_{4}\right)+\mathrm{K}+\left(b_{2 m-1}+b_{2 m}\right)$
$$ <8 m=4 n $$
当 n 为奇数时，设 $n=2 m-1\left(m \in N^{*}\right)$
则 $R_{n}=\left(b_{1}+b_{2}\right)+\left(b_{3}+b_{4}\right)+\mathrm{K}+\left(b_{2 m-3}+b_{2 m-2}\right)+b_{2 m-1}$
$$ <8(m-1)+4=8 m-4=4 n $$
∴ 对一切的正整数 n ，都有 $R_{n} \leq 4 n$
综上所述，正实数 $\lambda$ 的最小值为 4