2010 全国高考数学 2010_旧全国 II 卷 (2010·理) 第 18 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

18．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\left(n^{2}+n\right) \cdot 3^{n}$ ．
（I）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ ；（II）证明：$\frac{a_{1}}{1^{2}}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\ldots+\frac{a_{n}}{n^{2}}>3^{n}$ ．

Accepted Answer

【考点】6F：极限及其运算；R6：不等式的证明． 【专题】11：计算题；14：证明题． 【分析】①由题意知 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S_{n}-S_{n-1}}{S_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{S_{n-1}}{S_{n}}\right)=1-\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S_{n-1}}{S_{n}}$ ，由此可知答案。 ②由题意知，$\frac{a_{1}}{1^{2}}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\cdots+\frac{a_{n}}{n^{2}}=\frac{S_{1}}{1^{2}}+\frac{S_{2}-S_{1}}{2^{2}}+\cdots+\frac{S_{n}-S_{n-1}}{n^{2}} =\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right) S_{1}+\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) S_{2}+\cdots+\left(\frac{1}{(n-1)^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right) S_{n-1}+\frac{1}{n^{2}} S_{n}>\frac{1}{n^{2}} S_{n}$ ，由此可知，当 $n \geq 1$ 时，$\frac{a_{1}}{1^{2}}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\cdots+\frac{a_{n}}{n^{2}}>3^{n}$ ． 【解答】解：（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S_{n}-S_{n-1}}{S_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{S_{n-1}}{S_{n}}\right)=1-\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S_{n-1}}{S_{n}} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S_{n-1}}{S_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n-1}{n+1} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$ ，所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}=\frac{2}{3}$ ； （2）当 $n=1$ 时，$…

2010 高考数学第 18 题答案解析

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