（12分）已知数列 a_ n 的前 n 项和 S_ n =…——2010 高考数学第 18 题答案解析

【解答】解：（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S_{n}-S_{n-1}}{S_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{S_{n-1}}{S_{n}}\right)=1-\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S_{n-1}}{S_{n}} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S_{n-1}}{S_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n-1}{n+1} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$ ，所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}=\frac{2}{3}$ ；
（2）当 $n=1$ 时，$\frac{a_{1}}{1^{2}}=S_{1}=6>3$ ；

当 $n>1$ 时，$\frac{a_{1}}{1^{2}}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\cdots+\frac{a_{n}}{n^{2}}=\frac{S_{1}}{1^{2}}+\frac{S_{2}-S_{1}}{2^{2}}+\cdots+\frac{S_{n}-S_{n-1}}{n^{2}}$
$=\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right) S_{1}+\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) S_{2}+\cdots+\left(\frac{1}{(n-1)^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right) S_{n-1}+\frac{1}{n^{2}} S_{n}>\frac{1}{n^{2}} S_{n}=$
$\frac{n^{2}+n}{n^{2}} \cdot 3^{n}>3^{n}$
所以， $\mathrm{n} \geq 1$ 时，$\frac{\mathrm{a}_{1}}{1^{2}}+\frac{\mathrm{a}_{2}}{2^{2}}+\cdots+\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}^{2}}>3^{\mathrm{n}}$ ．
【点评】本题考查数列的极限问题，解题时要注意公式的灵活运用．