函数 f(x)= 1 x+1 +ln x 的定义域是 _…——2020 高考数学第 11 题答案解析

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入 $x$ 的值为 1 ，则输出 $y$ 的值为

以 $A$ 表示值域为 R 的函数组成的集合，$B$ 表示具有如下性质的函数 $\varphi(x)$ 组成的集合：对于函数 $\varphi(x)$，存在一个正数 $M$，使得函数 $\varphi(x)$ 的值域包含于区间 $[-M, M]$。例如，当 $\varphi_{1}(x)=x^{3}, \varphi_{2}(x)=\sin x$ 时， $\varphi_{1}(x) \in A, \quad \varphi_{2}(x) \in B$．现有如下命题：
①设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，则＂$f(x) \in A$＂的充要条件是＂$\forall b \in R, \exists a \in D, f(a)=b$＂；
②若函数 $f(x) \in B$，则 $f(x)$ 有最大值和最小值；
③若函数 $f(x), g(x)$ 的定义域相同，且 $f(x) \in A, g(x) \in B$，则 $f(x)+g(x) \notin B$；
④若函数 $f(x)=a \ln (x+2)+\frac{x}{x^{2}+1}(x>-2, a \in R)$ 有最大值，则 $f(x) \in B$．其中的真命题有 $\_\_\_\_$．（写出所有真命题的序号）

设 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数，且 $f(x)>0$ ，对任意 $a>0, b>0$ ，若经过点 $(a, f(a)),(b,-f(b))$的直线与 $x$ 轴的交点为 $(c, 0)$ ，则称 $c$ 为 $a, b$ 关于函数 $f(x)$ 的平均数，记为 $M_{f}(a, b)$ ，例如，当 $f(x)=1(x>0)$ 时，可得 $M_{f}(a, b)=c=\frac{a+b}{2}$ ，即 $M_{f}(a, b)$ 为 $a, b$ 的算术平均数．
①当 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x>0)$ 时，$M_{f}(a, b)$ 为 $a, b$ 的几何平均数；
②当 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x>0)$ 时，$M_{f}(a, b)$ 为 $a, b$ 的调和平均数 $\frac{2 a b}{a+b}$ ；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）