（5分）（2016•天津）已知双曲线 x^ 2 a^ 2…——2016 高考数学第 4 题答案解析

【解答】
（5分）（2016•天津）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，且双曲线的一条渐近线与直线 $2 \mathrm{x}+\mathrm{y}=0$ 垂直，则双曲线的方程为
A．$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$
B．$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$
C．$\frac{3 x^{2}}{20}-\frac{3 y^{2}}{5}=1$
D．$\frac{3 x^{2}}{5}-\frac{3 y^{2}}{20}=1$

【分析】利用双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，且双曲线的一条渐近线与直线 $2 x+y=0$ 垂直，求出几何量 $a, b, c$ ，即可求出双曲线的方程．
【解答】解：∵ 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，
$\therefore c=\sqrt{5}$ ，
∵ 双曲线的一条渐近线与直线 $2 \mathrm{x}+\mathrm{y}=0$ 垂直，
$\therefore \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\frac{1}{2}$,
$\therefore a=2 b$ ，
$\because c^{2}=a^{2}+b^{2}$,

$\therefore \mathrm{a}=2, \quad \mathrm{~b}=1$,
∴ 双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ ．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键。