【解答】
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in N^{*}\right)$ 的首项 $a_{1}=1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．设 $\lambda$ 与 $k$ 是常数，若对一切正整数 $n$ ，均有 $S_{n+1}{ }^{\frac{1}{k}}-S_{n}{ }^{\frac{1}{k}}=\lambda a_{n+1} \frac{1}{k}$ 成立，则称此数列为＂$\lambda-k$＂数列．
（1）若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$\lambda-1$＂数列，求 $\lambda$ 的值；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$\frac{\sqrt{3}}{3}-2$＂数列，且 $a_{n}>0$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）对于给定的 $\lambda$ ，是否存在三个不同的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为＂$\lambda-$
3＂数列，且 $a_{n} \geq 0$ ？若存在，求 $\lambda$ 的取值范围；若不存在，说明理由，
【答案】（1） 1
②$a_{n}=\left\{\begin{array}{c}1, n=1 \\ 3 \cdot 4^{n-2}, n \geq 2\end{array}\right.$
③ $0<\lambda<1$
## 【解析】
【分析】
（1）根据定义得 $S_{n+1}-S_{n}=\lambda a_{n+1}$ ，再根据和项与通项关系化简得 $a_{n+1}=\lambda a_{n+1}$ ，最后根据数列不为零数列得结果；
（2）根据定义得 $S_{n+1}^{\frac{1}{2}}-S_{n}^{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(S_{n+1}-S_{n}\right)^{\frac{1}{2}}$ ，根据平方差公式化简得 $S_{n+1}=4 S_{n}$ ，求得 $S_{n}$ ，即得 $a_{n}$ ；
（3）根据定义得 $S_{n+1}{ }^{\frac{1}{3}}-S_{n}{ }^{\frac{1}{3}}=\lambda a_{n+1}{ }^{\frac{1}{3}}$ ，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果
【详解】①$S_{n+1}-S_{n}=\lambda a_{n+1} \therefore a_{n+1}=\lambda a_{n+1} \mathrm{Q} a_{1}=1 \therefore a_{n+1} \not \equiv 0 \therefore \lambda=1$
② $\mathrm{Q} a_{n}>0 \therefore S_{n+1}>S_{n} \therefore S_{n+1}^{\frac{1}{2}}-S_{n}^{\frac{1}{2}}>0$
$\mathrm{Q} S_{n+1}^{\frac{1}{2}}-S_{n}^{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(S_{n+1}-S_{n}\right)^{\frac{1}{2}}$
$\therefore\left(S_{n+1}{ }^{\frac{1}{2}}-S_{n}{ }^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=\frac{1}{3}\left(S_{n+1}{ }^{\frac{1}{2}}-S_{n}{ }^{\frac{1}{2}}\right)\left(S_{n+1}{ }^{\frac{1}{2}}+S_{n}{ }^{\frac{1}{2}}\right)$
$\therefore S_{n+1}^{\frac{1}{2}}-S_{n}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}\left(S_{n+1}^{\frac{1}{2}}+S_{n}^{\frac{1}{2}}\right) \therefore S_{n+1}^{\frac{1}{2}}=2 S_{n}^{\frac{1}{2}} \therefore S_{n+1}=4 S_{n} \therefore S_{n}=4^{n-1}$
$\because S_{1}=a_{1}=1, \quad S_{n}=4^{n-1}$
$\therefore a_{n}=4^{n-1}-4^{n-2}=3 \cdot 4^{n-2}, n \geq 2$
$\therefore a_{n}=\left\{\begin{array}{c}1, n=1 \\ 3 \cdot 4^{n-2}, n \geq 2\end{array}\right.$
（3）假设存在三个不同的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为＂$\lambda-3$＂数列．
$S_{n+1}{ }^{\frac{1}{3}}-S_{n}{ }^{\frac{1}{3}}=\lambda a_{n+1}{ }^{\frac{1}{3}} \therefore\left(S_{n+1}{ }^{\frac{1}{3}}-S_{n}{ }^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=\lambda^{3}\left(S_{n+1}-S_{n}\right)$
$\therefore S_{n+1}{ }^{\frac{1}{3}}=S_{n}{ }^{\frac{1}{3}}$ 或 $\left(S_{n+1}{ }^{\frac{1}{3}}-S_{n}{ }^{\frac{1}{3}}\right)^{2}=\lambda^{3}\left(S_{n+1}{ }^{\frac{2}{3}}+S_{n}{ }^{\frac{2}{3}}+S_{n+1}{ }^{\frac{1}{3}} S_{n}{ }^{\frac{1}{3}}\right)$
$\therefore S_{n+1}=S_{n}$ 或 $\left(\lambda^{3}-1\right) S_{n+1}{ }^{\frac{2}{3}}+\left(\lambda^{3}-1\right) S_{n}^{\frac{2}{3}}+\left(\lambda^{3}+2\right) S_{n+1}{ }^{\frac{1}{3}} S_{n}^{\frac{1}{3}}=0$
∵ 对于给定的 $\lambda$ ，存在三个不同的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为 $" \lambda-3^{\prime \prime}$ 数列，且 $a_{n} \geq 0$
$\therefore a_{n}=\left\{\begin{array}{l}1, n=1 \\ 0, n \geq 2\end{array}\right.$ 或 $\left(\lambda^{3}-1\right) S_{n+1}^{\frac{2}{3}}+\left(\lambda^{3}-1\right) S_{n}^{\frac{2}{3}}+\left(\lambda^{3}+2\right) S_{n+1}^{\frac{1}{3}} S_{n}^{\frac{1}{3}}=0(\lambda \neq 1)$ 有两个不等的正根．
$\left(\lambda^{3}-1\right) S_{n+1}{ }^{\frac{2}{3}}+\left(\lambda^{3}-1\right) S_{n}{ }^{\frac{2}{3}}+\left(\lambda^{3}+2\right) S_{n+1}{ }^{\frac{1}{3}} S_{n}{ }^{\frac{1}{3}}=0(\lambda \neq 1)$ 可转化为
$\frac{\left(\lambda^{3}-1\right) S_{n+1}^{\frac{2}{3}}}{S_{n}^{\frac{2}{3}}}+\left(\lambda^{3}-1\right)+\frac{\left(\lambda^{3}+2\right) S_{n+1}^{\frac{1}{3}}}{S_{n}^{\frac{1}{3}}}=0(\lambda \neq 1)$ ，不妨设 $\left(\frac{S_{n+1}}{S_{n}}\right)^{\frac{1}{3}}=x(x>0)$ ，则
$\left(\lambda^{3}-1\right) x^{2}+\left(\lambda^{3}+2\right) x+\left(\lambda^{3}-1\right)=0(\lambda \neq 1)$ 有两个不等正根，设
$f(x)=\left(\lambda^{3}-1\right) x^{2}+\left(\lambda^{3}+2\right) x+\left(\lambda^{3}-1\right)=0(\lambda \neq 1)$.
（1）当 $\lambda<1$ 时，$\Delta=\left(\lambda^{3}+2\right)^{2}-4\left(\lambda^{3}-1\right)^{2}>0 \Rightarrow 0<\lambda^{3}<4$ ，即 $0<\lambda<1$ ，此时 $f(0)=\lambda^{3}-1<0, x_{\text {对 }}=-\frac{\left(\lambda^{3}+2\right)}{2\left(\lambda^{3}-1\right)}>0$ ，满足题意．
（2）当 $\lambda>1$ 时，$\Delta=\left(\lambda^{3}+2\right)^{2}-4\left(\lambda^{3}-1\right)^{2}>0 \Rightarrow 0<\lambda^{3}<4$ ，即 $1<\lambda<\sqrt[3]{4}$ ，此时 $f(0)=\lambda^{3}-1>0, x_{\text {对 }}=-\frac{\left(\lambda^{3}+2\right)}{2\left(\lambda^{3}-1\right)}<0$ ，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去。
综上， $0<\lambda<1$
【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题．
## 数学 II（附加题）
【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
## A．［选修4－2：矩阵与变换］