（本小题满分 13 分） 设 S_ n 为数列 a_ n…——2013 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（I）令 $n=1$，所以 $a_{1}=a_{1}^{2}$，因为 $a_{1} \neq 0$，所以 $a_{1}=1$；因为 $2 a_{2}-a_{1}=a_{1} \bullet\left(a_{1}+a_{2}\right)$，所以 $a_{2}=2 ; 2 a_{n}-1=S_{n}$，当 $n \geq 2$ 时， $2 a_{n-1}-1=S_{n-1}$，两式对减，$\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=2$，所以 $a_{n}=2^{n-1}$；
（II）$n a_{n}=n 2^{n-1}$，记 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $B_{n}$，
$B_{n}=1 \cdot 2^{0}+2 \cdot 2^{1}+3 \cdot 2^{2}+\ldots+n \cdot 2^{n-1}$；

$2 B_{n}=1 \cdot 2^{1}+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+\ldots+n \cdot 2^{n}$
两式对减 $B_{n}=1+(n-1) \cdot 2^{n}$．
【解析】（I）令 $\mathrm{n}=1, 2$ 分别求出 $a_{1}, a_{2}$，再利用数列前 n 项和与通项公式之间的关系求出数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；（II）使用错位相减法求擞列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

【考点定位】本题考查数列的基本运算、数列前 n 项和与通项公式之间的关系、错位相减法，考查学生的基本运算能力以及化归与转化能力。