（5分）设等差数列 a_ n 的前 n 项和为 S_ n，…——2013 高考数学第 7 题答案解析

【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前 n 项和．
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由 $a_{n}$ 与 $S_{n}$ 的关系可求得 $a_{m+1}$ 与 $a_{m}$ ，进而得到公差 $d$ ，由前 $n$ 项和公式及 $S_{m} =0$ 可求得 $a_{1}$ ，再由通项公式及 $a_{m}=2$ 可得 $m$ 值．

【解答】解：$a_{m}=S_{m}-S_{m-1}=2, a_{m+1}=S_{m+1}-S_{m}=3$ ，
所以公差 $d=a_{m+1}-a_{m}=1$ ，
$\mathrm{S}_{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{\mathrm{m}}\right)}{2}=0$,
$m-1>0, m>1$ ，因此 $m$ 不能为 0 ，
得 $a_{1}=-2$ ，
所以 $a_{m}=-2+(m-1) \cdot 1=2$ ，解得 $m=5$ ，
另解：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，即有数列 $\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$ 成等差数列，
则 $\frac{S_{m-1}}{m-1}, \frac{S_{m}}{m}, \frac{S_{m+1}}{m+1}$ 成等差数列，
可得2• $\frac{S_{m}}{m}=\frac{S_{m-1}}{m-1}+\frac{S_{m+1}}{m+1}$ ，
即有 $0=\frac{-2}{m-1}+\frac{3}{m+1}$ ，
解得 $m=5$ ．
又一解：由等差数列的求和公式可得 $\frac{1}{2}(m-1)\left(a_{1}+a_{m-1}\right)=-2$ ，
$\frac{1}{2} m\left(a_{1}+a_{m}\right)=0, \frac{1}{2}(m+1) \quad\left(a_{1}+a_{m+1}\right)=3$ ，
可得 $a_{1}=-a_{m},-2 a_{m}+a_{m+1}+a_{m+1}=\frac{6}{m+1}+\frac{-4}{m-1}=0$ ，
解得 $m=5$ ．
故选：C．

【点评】本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式及通项 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ 与 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 的关系，考查学生的计算能力。