（19）（本题 14 分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 $\frac{2}{5}$ ；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 $\frac{7}{9}$ 。
（I）若袋中共有 10 个球，
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 $\xi$ ，求随机变量 $\xi$ 的数学期望 $E \xi$ 。
（II）求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于 $\frac{7}{10}$ 。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。
参考答案本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力。满分 14 分。 （I）解：（i）记＂从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球＂为事件 $A$ ，设袋中白球的 个数为 $x$ ，则 $P(A)=1-\frac{C_{10-x}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{7}{9}$ ， 得到 $x=5$ ． 故白球有 5 个． （ii）随机变量 $\xi$ 的取值为 $0,1,2,3$ ，分布列是 | $\xi$ | 0 | 1 | 2 | 3 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{5}{12}$ | $\frac{5}{12}$ | $\frac{1}{12}$ | $\xi$ 的数学期望 $E \xi=\frac{1}{12} \times 0+\frac{5}{12} \times 1+\frac{5}{12} \times 2+\frac{1}{12} \times 3=\frac{3}{2}$. （II）证明：设袋中有 $n$ 个球，其中 $y$ 个黑球，由题意得 $y=\frac{2}{5} n$ ， 所以 $2 y<n, 2 y \leqslant n-1$ ，故 $\frac{y}{n-1} \leqslant \frac{1}{2}$ ． 记＂从袋中任意摸出两个球，至少有 1 个黑球＂为事件 $B$ ，则 $P(B)=\frac{2}{5}+\frac{3}{5} \times \frac{y}{n-1}$ $\leqslant \frac{2}{5}+\frac{3}{5} \times \frac{1}{2}=\frac{7}{10}$. 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于 $\frac{2}{5} n$ ，红球的个数少于 $\frac{n}{5}$ ． 故袋中红球个数最少．