2022_天津卷 (2022)
19．椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ 、右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ，且满足 $\frac{|B F|}{|A B|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆的离心率 $e$ ；
（2）直线 $l$ 与椭圆有唯一公共点 $M$ ，与 $y$ 轴相交于 $N$（ $N$ 异于 $M$ ）．记 $O$ 为坐标原点，若 $|O M|=|O N|$ ，且 $\triangle O M N$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求椭圆的标准方程．
(1) $e=\frac{\sqrt{6}}{3}$; (2) $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】①$e=\frac{\sqrt{6}}{3}$
②$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得出关于 $a , b$ 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；
②由①可知椭圆的方程为 $x^{2}+3 y^{2}=a^{2}$ ，设直线 $l$ 的方程为 $y=k x+m$ ，将直线 $l$ 的方程与椭圆方程联立，由 $\Delta=0$ 可得出 $3 m^{2}=a^{2}\left(1+3 k^{2}\right)$ ，求出点 $M$ 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求
得 $a^{2}$ 的值，即可得出椭圆的方程．
【小问 1 详解】
解：$\frac{|B F|}{|A B|}=\frac{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 4 a^{2}=3\left(b^{2}+a^{2}\right) \Rightarrow a^{2}=3 b^{2}$ ，
离心率为 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．
【小问 2 详解】
解：由①可知椭圆的方程为 $x^{2}+3 y^{2}=a^{2}$ ，
易知直线 $l$ 的斜率存在，设直线 $l$ 的方程为 $y=k x+m$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+m \\ x^{2}+3 y^{2}=a^{2}\end{array}\right.$ 得 $\left(1+3 k^{2}\right) x^{2}+6 k m x+\left(3 m^{2}-a^{2}\right)=0$ ，
由 $\Delta=36 k^{2} m^{2}-4\left(1+3 k^{2}\right)\left(3 m^{2}-a^{2}\right)=0 \Rightarrow 3 m^{2}=a^{2}\left(1+3 k^{2}\right)$ ，
$x_{M}=-\frac{3 k m}{3 k^{2}+1}, \quad y_{M}=k x_{M}+m=\frac{m}{1+3 k^{2}}$ ，
由 $|O M|=|O N|$ 可得 $m^{2}=\frac{m^{2}\left(9 k^{2}+1\right)}{\left(3 k^{2}+1\right)^{2}}$ ，②
由 $S_{\triangle O M N}=\sqrt{3}$ 可得 $\frac{1}{2}|m| \cdot \frac{|3 k m|}{1+3 k^{2}}=\sqrt{3}$ ，（3）
联立①②③可得 $k^{2}=\frac{1}{3}, m^{2}=4, a^{2}=6$ ，故椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ．