（13 分）已知函数 f(x)=sin ^ 2 x+ 3…——2018 高考数学第 16 题答案解析

【考点】GP：两角和与差的三角函数；H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．

【专题】35：转化思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】（I）运用二倍角公式的降幕公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值；
（II）求得 $2 x-\frac{\pi}{6}$ 的范围，结合正弦函数的图象可得 $2 m-\frac{\pi}{6} \geq \frac{\pi}{2}$ ，即可得到所求最小值。
【解答】解：（I）函数 $f(x)=\sin ^{2} x+\sqrt{3} \sin x \cos x=\frac{1-\cos 2 x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x$
$=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2}$ ，
$\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最小正周期为 $\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{2}=\pi$ ；
（II）若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{3}, \mathrm{~m}\right]$ 上的最大值为 $\frac{3}{2}$ ，
可得 $2 x-\frac{\pi}{6} \in\left[-\frac{5 \pi}{6}, 2 m-\frac{\pi}{6}\right]$ ，
即有 $2 m-\frac{\pi}{6} \geq \frac{\pi}{2}$ ，解得 $m \geq \frac{\pi}{3}$ ，
则 m 的最小值为 $\frac{\pi}{3}$ ．
【点评】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属于中档题．