【答案】①$\varphi=-\frac{\pi}{3}$ ．
（2）条件①不能使函数 $f(x)$ 存在；条件②或条件③可解得 $\omega=1, \varphi=-\frac{\pi}{6}$ ．
## 【解析】
【分析】（1）把 $x=0$ 代入 $f(x)$ 的解析式求出 $\sin \varphi$ ，再由 $|\varphi|<\frac{\pi}{2}$ 即可求出 $\varphi$ 的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把 $f(x)$ 的解析式化简，根据 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上的单调性及函数的最值可求出 $T$ ，从而求出 $\omega$ 的值；把 $\omega$ 的值代入 $f(x)$ 的解析式，由 $f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-1$ 和 $|\varphi|<\frac{\pi}{2}$ 即可求出 $\varphi$ 的值；若选条件③：由 $f(x)$ 的单调性可知 $f(x)$ 在 $x=-\frac{\pi}{3}$ 处取得最小值 -1 ，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
## 【小问 1 详解】
因为 $f(x)=\sin \omega x \cos \varphi+\cos \omega x \sin \varphi, \omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}$
所以 $f(0)=\sin (\omega \cdot 0) \cos \varphi+\cos (\omega \cdot 0) \sin \varphi=\sin \varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
因为 $|\varphi|<\frac{\pi}{2}$ ，所以 $\varphi=-\frac{\pi}{3}$ ．
## 【小问 2 详解】
因为 $f(x)=\sin \omega x \cos \varphi+\cos \omega x \sin \varphi, \omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}$ ，
所以 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi), \omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}$ ，所以 $f(x)$ 的最大值为 1 ，最小值为 -1 ．
若选条件①：因为 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 的最大值为 1 ，最小值为 -1 ，所以 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2}$ 无解，故条件①不
能使函数 $f(x)$ 存在；
若选条件②：因为 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上单调递增，且 $f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=1, f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-1$
所以 $\frac{T}{2}=\frac{2 \pi}{3}-\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\pi$ ，所以 $T=2 \pi, \omega=\frac{2 \pi}{T}=1$ ，
所以 $f(x)=\sin (x+\varphi)$ ，
又因为 $f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-1$ ，所以 $\sin \left(-\frac{\pi}{3}+\varphi\right)=-1$ ，
所以 $-\frac{\pi}{3}+\varphi=-\frac{\pi}{2}+2 k \pi, k \in \mathrm{Z}$ ，
所以 $\varphi=-\frac{\pi}{6}+2 k \pi, k \in \mathrm{Z}$ ，因为 $|\varphi|<\frac{\pi}{2}$ ，所以 $\varphi=-\frac{\pi}{6}$ ．
所以 $\omega=1, \varphi=-\frac{\pi}{6}$ ；
若选条件③：因为 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上单调递增，在 $\left[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}\right]$ 上单调递减，
所以 $f(x)$ 在 $x=-\frac{\pi}{3}$ 处取得最小值 -1 ，即 $f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-1$ ．
以下与条件②相同。