（12 分）（2008 • 山东）已知函数 f ( x )…——2008 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
（12 分）（2008 • 山东）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{3} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)-\cos (\omega \mathrm{x}+\phi) \quad(0< \phi<\pi, \omega>0$ ）为偶函数，且函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 图象的两相邻对称轴间的距离为 $\frac{\pi}{2}$ ．
（I）求 $f$（ $\frac{\pi}{8}$ ）的值；
（II）将函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的图象，求 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的单调递减区间．
【分析】（I）先用两角和公式对函数 $f(x)$ 的表达式化简得 $f(x)=2 \sin \left(\omega x+\phi-\frac{\pi}{6}\right)$ ，利用偶函数的性质即 $f(x)=f(-x)$ 求得 $\omega$ ，进而求出 $f(x)$ 的表达式，把 $x=\frac{\pi}{8}$ 代入即可。

（II）根据三角函数图象的变化可得函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的单调区间。
【解答】解：（I）$f(x)=\sqrt{3} \sin (\omega x+\phi)-\cos (\omega x+\phi)= 2\left[\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \left(\omega_{x}+\phi\right)-\frac{1}{2} \cos \left(\omega_{x}+\phi\right)\right]=2 \sin \left(\omega_{x}+\phi-\frac{\pi}{6}\right)$ ．
$\because f(x)$ 为偶函数，
∴ 对 $\mathrm{x} \in \mathrm{R}, \mathrm{f}(-\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 恒成立，
$\therefore \sin \left(-\omega x+\phi-\frac{\pi}{6}\right)=\sin \left(\omega x+\phi-\frac{\pi}{6}\right)$ ．
即
$-\sin \omega x \cos \left(\phi-\frac{\pi}{6}\right)+\cos \omega x \sin \left(\phi-\frac{\pi}{6}\right)=\sin \omega x \cos \left(\phi-\frac{\pi}{6}\right)+\cos \omega x \sin \left(\phi-\frac{\pi}{6}\right)$
，
整理得 $\sin \omega x \cos \left(\phi-\frac{\pi}{6}\right)=0$ ．
$\because \omega>0$ ，且 $x \in R$ ，所以 $\cos \left(\phi-\frac{\pi}{6}\right)=0$ ．
又 $\because 0<\phi<\pi$ ，故 $\phi-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$ ．
$\therefore f(x)=2 \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{2}\right)=2 \cos \omega x$ ．
由题意得 $\frac{2 \pi}{\omega}=2 \cdot \frac{\pi}{2}$ ，所以 $\omega=2$ ．
故 $f(x)=2 \cos 2 x$ ．
$\therefore f\left(\frac{\pi}{8}\right)=2 \cos \frac{\pi}{4}=\sqrt{2}$ ．
（II）将 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位后，得到 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}-\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到 $\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{x}}{4}-\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象．
$\therefore g(x)=f\left(\frac{x}{4}-\frac{\pi}{6}\right)=2 \cos \left[2\left(\frac{x}{4}-\frac{\pi}{6}\right)\right]=2 \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)$ ．
当 $2 k \pi \leqslant \frac{x}{2}-\frac{\pi}{3} \leqslant 2 k \pi+\pi \quad(k \in Z)$ ，
即 $4 k \pi+\frac{2 \pi}{3} \leqslant x \leqslant 4 k \pi+\frac{8 \pi}{3}(k \in Z)$ 时，$g(x)$ 单调递减，
因此 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的单调递减区间为 $\left[4 \mathrm{k} \pi+\frac{2 \pi}{3}, 4 \mathrm{k} \pi+\frac{8 \pi}{3}\right](\mathrm{k} \in \mathrm{Z})$ 。