（5 分）（2016 • 山东）在 [-1,1] 上随机地…——2016 高考数学第 14 题答案解析

【解答】
（5 分）（2016 • 山东）在 $[-1,1]$ 上随机地取一个数 k ，则事件＂直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ 与圆 $(\mathrm{x}-5) { }^{2}+y^{2}=9$ 相交＂发生的概率为 $\_\_\_\_$ $\frac{3}{4}$ ．

【考点】几何概型．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计。
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的 k ，最后根据几何概型的概率公式可求出所求。
【解答】解：圆 $(x-5)^{2}+y^{2}=9$ 的圆心为 $(5,0)$ ，半径为 3 ．

圆心到直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ 的距离为 $\frac{|5 \mathrm{k}|}{\sqrt{\mathrm{k}^{2}+1}}$ ，
要使直线 $y=k x$ 与圆 $(x-5)^{2}+y^{2}=9$ 相交，则 $\frac{|5 k|}{\sqrt{k^{2}+1}}<3$ ，解得 $-\frac{3}{4}<k<\frac{3}{4}$ ．
∴ 在区间 $[-1,1]$ 上随机取一个数 k ，使直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ 与圆 $(\mathrm{x}-5)^{2}+\mathrm{y}^{2}=9$ 相交相交的概率为
$\frac{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}}{1+1}=\frac{3}{4}$.
故答案为：$\frac{3}{4}$ ．
【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题。