已知圆 C: x^ 2 +y^ 2 =12，直线 l: 4…——2011 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（2011 •湖南）已知圆 $C: x^{2}+y^{2}=12$ ，直线 $l: 4 x+3 y=25$ ．
（1）圆 $C$ 的圆心到直线 $l$ 的距离为 $\_\_\_\_$ 5 ；
（2）圆 $C$ 上任意一点 $A$ 到直线 $l$ 的距离小于 2 的概率为 $\frac{1}{6}$ ．
考点：点到直线的距离公式；几何概型；直线与圆的位置关系。
专题：计算题。
分析：（1）根据所给的圆的标准方程，看出圆心，根据点到直线的距离公式，代入有关数据做出点到直线的距离．

（2）本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是 $60^{\circ}$ ，根据几何概型概率公式得到结果．

解答：解：（1）由题意知圆 $x^{2}+y^{2}=12$ 的圆心是 $(0,0)$ ，
圆心到直线的距离是 $d=\frac{25}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=5$ ，
②由题意知本题是一个几何概型，
试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，
满足条件的事件是到直线 $l$ 的距离小于 2 ，过圆心做一条直线交直线 $l$ 与一点，
根据上一问可知圆心到直线的距离是 5 ，
在这条垂直于直线 $l$ 的半径上找到圆心的距离为 3 的点做半径的垂线，
根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是 $60^{\circ}$
根据几何概型的概率公式得到 $P=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{1}{6}$
故答案为： $5 ; \frac{1}{6}$
点评：本题考查点到直线的距离，考查直线与圆的位置关系，考查几何概型的概率公式，本题是一个基础题，运算量不大。