2019_江苏卷 (2019)
17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的焦点为 $F_{1}(-1 , 0)$ ， $F_{2}(1,0)$ ．过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ，在 $x$ 轴的上方，$l$ 与圆 $F_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=4 a^{2}$ 交于点 $A$ ，与椭圆 $C$ 交于点 $D$ ．连结 $A F_{1}$ 并延长交圆 $F_{2}$ 于点 $B$ ，连结 $B F_{2}$ 交椭圆 $C$ 于点 $E$ ，连结 $D F_{1}$ ．
已知 $D F_{1}=\frac{5}{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）求点 $E$ 的坐标．
【解答】
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的焦点为 $F_{1}(-1 , 0)$ ， $F_{2}(1,0)$ ．过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ，在 $x$ 轴的上方，$l$ 与圆 $F_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=4 a^{2}$ 交于点 $A$ ，与椭圆 $C$ 交于点 $D$ ．连结 $A F_{1}$ 并延长交圆 $F_{2}$ 于点 $B$ ，连结 $B F_{2}$ 交椭圆 $C$ 于点 $E$ ，连结 $D F_{1}$ 。已知 $D F_{1}=\frac{5}{2}$ ，
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）求点 $E$ 的坐标．
【答案】①$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ；
②$E\left(-1,-\frac{3}{2}\right)$ ．
【解析】
## 【分析】
①由题意分别求得 $a, b$ 的值即可确定椭圆方程；
（2）解法一：由题意首先确定直线 $A F_{1}$ 的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点 $B$ 的坐标，联立直线 $B F_{2}$ 与椭圆的方程即可确定点 $E$ 的坐标；
解法二：由题意利用几何关系确定点 $E$ 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点 $E$ 的坐标。
【详解】①设椭圆 $C$ 的焦距为 $2 c$ ．
因为 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$ ，所以 $F_{1} F_{2}=2, c=1$ ．
又因为 $D F_{1}=\frac{5}{2}, A F_{2} \perp x$ 轴，所以 $D F_{2}=\sqrt{D F_{1}^{2}-F_{1} F_{2}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^{2}-2^{2}}=\frac{3}{2}$ ，
因此 $2 a=D F_{1}+D F_{2}=4$ ，从而 $a=2$ 。
由 $b^{2}=a^{2}-c^{2}$ ，得 $b^{2}=3$ ．
因此，椭圆 $C$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ．
（2）解法一：
由①知，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1, a=2$ ，
因为 $A F_{2} \perp x$ 轴，所以点 $A$ 的横坐标为 1 ．
将 $x=1$ 代入圆 $F_{2}$ 的方程 $(x-1)^{2}+y^{2}=16$ ，解得 $y= \pm 4$ ．
因为点 $A$ 在 $x$ 轴上方，所以 $A(1,4)$ ．
又 $F_{1}(-1,0)$ ，所以直线 $A F_{1}: y=2 x+2$ ．
由 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x+2 \\ (x-1)^{2}+y^{2}=16\end{array}\right.$ ，得 $5 x^{2}+6 x-11=0$ ，
解得 $x=1$ 或 $x=-\frac{11}{5}$ ．
将 $x=-\frac{11}{5}$ 代入 $y=2 x+2$ ，得 $y=-\frac{12}{5}$ ，
因此 $B\left(-\frac{11}{5},-\frac{12}{5}\right)$ ．又 $F_{2}(1,0)$ ，所以直线 $B F_{2}: y=\frac{3}{4}(x-1)$ ．
由 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}(x-1) \\ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{array}\right.$ ，得 $7 x^{2}-6 x-13=0$ ，解得 $x=-1$ 或 $x=\frac{13}{7}$ ．
又因为 $E$ 是线段 $B F_{2}$ 与椭圆的交点，所以 $x=-1$ ．
将 $x=-1$ 代入 $y=\frac{3}{4}(x-1)$ ，得 $y=-\frac{3}{2}$ ．因此 $E\left(-1,-\frac{3}{2}\right)$ ．
解法二：
由①知，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ．如图，连结 $E F_{1}$ ．
因为 $B F_{2}=2 a, E F_{1}+E F_{2}=2 a$ ，所以 $E F_{1}=E B$ ，
从而 $\angle B F_{1} E=\angle B$ ．
因为 $F_{2} A=F_{2} B$ ，所以 $\angle A=\angle B$ ，
所以 $\angle A=\angle B F_{1} E$ ，从而 $E F_{1} / / F_{2} A$ ．
因为 $A F_{2} \perp x$ 轴，所以 $E F_{1} \perp x$ 轴．
因为 $F_{1}(-1,0)$ ，由 $\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{array}\right.$ ，得 $y= \pm \frac{3}{2}$ ．
又因为 $E$ 是线段 $B F_{2}$ 与椭圆的交点，所以 $y=-\frac{3}{2}$ ．
因此 $E\left(-1,-\frac{3}{2}\right)$ ．
【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力．