韦达定理符号代错高考易错题

21．（14分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为 2 ．
（I）求椭圆 E 的方程．
（II）如图，该直线l：$y=k_{1} x-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 交椭圆 $E$ 于 $A$ ，$B$ 两点，$C$ 是椭圆 $E$ 上的一点，直线 $O C$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且看 $k_{1} k_{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}, M$ 是线段 $O C$ 延长线上一点，且 $|M C|:|A B|=2$
：3，$\odot \mathrm{M}$ 的半径为 $|\mathrm{MC}|, \mathrm{OS}, \mathrm{OT}$ 是 $\odot \mathrm{M}$ 的两条切线，切点分别为 $\mathrm{S}, \mathrm{T}$ ，求 $\angle \mathrm{SO}$ T 的最大值，并求取得最大值时直线 $l$ 的斜率．

# 2017年山东省高考数学试卷（理科）

20．（12分）设 $A$ ，$B$ 为曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{4}$ 上两点，$A$ 与 $B$ 的横坐标之和为 4 ．
（1）求直线 AB 的斜率；
②设 $M$ 为曲线 $C$ 上一点，$C$ 在 $M$ 处的切线与直线 $A B$ 平行，且 $A M \perp B M$ ，求直线 $A B$ 的方程．

20．已知抛物线 $C_{1}: x^{2}=4 y$ 的焦点 $F$ 也是椭圆 $C_{2}: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点，$C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦的

长为 $2 \sqrt{6}$ ．
（1）求 $C_{2}$ 的方程；
（2）过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C_{1}$ 相交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 相交于 $C, D$ 两点，且 $\overrightarrow{A C}$ 与 $\overrightarrow{B D}$ 同向
（i）若 $|A C|=|B D|$ ，求直线 $l$ 的斜率
（ii）设 $C_{1}$ 在点 $A$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $M$ ，证明：直线 $l$ 绕点 $F$ 旋转时，$\triangle M F D$ 总是针角三角形

20．（12分）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{4}$ 与直线 $l: y=k x+a(a>0)$ 交于 $M, N$ 两点．
（I）当 $\mathrm{k}=\mathrm{O}$ 时，分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程．
（II） y 轴上是否存在点 P ，使得当 k 变动时，总有 $\angle O P M=\angle O P N$ ？（说明理由）

22．（本小题满分 14 分）
如图，已知圆 $G:(x-2)^{2}+y^{2}=r^{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+y^{2}=1$ 的内接 $\triangle A B C$ 的内切圆，其中 $A$ 为椭圆的左顶点
（1）求圆 $G$ 的半径 $r$ ；
（2）过点 $M(0,1)$ 作圆 $G$ 的两条切线交椭圆于 $E, F$两点，证明：直线 $E F$ 与圆 $G$ 相切．

## 2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

22．（14分）（2008 • 山东）如图，设抛物线方程为 $\mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{py} ~(\mathrm{p}>0), \mathrm{M}$ 为直线 $\mathrm{y}=-2 \mathrm{p}$ 上任意一点，过 $M$ 引抛物线的切线，切点分别为 $A, B$。
（I）求证： $\mathrm{A}, \mathrm{M}, \mathrm{B}$ 三点的横坐标成等差数列；
（II）已知当 M 点的坐标为 $(2,-2 \mathrm{p})$ 时，$|\mathrm{AB}|=4 \sqrt{10}$．求此时抛物线的方程；
（III）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 $\mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{py}(\mathrm{p}>0)$ 上，其中，点 C 满足 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$（ O 为坐标原点）。若存在，求出所有适合题意的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

## 2008年山东省高考数学试卷（理科）

21．（12分）（2008•陕西）已知抛物线C：$y=2 x^{2}$ ，直线 $y=k x+2$ 交C于A，B两点，M是线段 $A B$ 的中点，过 $M$作 x 轴的垂线交 C 于点 N 。
（I）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行；
（II）是否存在实数 k 使 $\overrightarrow{\mathrm{NA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{NB}}=0$ ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由．