2015_退役省自主命题 (2015·理)
5．设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in \mathbf{R}, n \geq 3$ ．若 $p: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 成等比数列；
$q:\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n-1}^{2}\right)\left(a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)=\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n-1} a_{n}\right)^{2}$ ，则
【答案】A
【解析】对命题 $p: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 成等比数列，则公比 $q=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}(n \geq 3)$ 且 $a_{n} \neq 0$ ；
对命题 $q$ ，①当 $a_{n}=0$ 时，$\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n-1}^{2}\right)\left(a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)=\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n-1} a_{n}\right)^{2}$ 成立；
②当 $a_{n} \neq 0$ 时，根据柯西不等式，等式 $\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n-1}^{2}\right)\left(a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)=\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n-1} a_{n}\right)^{2}$ 成立，
则 $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{a_{2}}{a_{3}}=\cdots=\frac{a_{n-1}}{a_{n}}$ ，所以 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 成等比数列，所以 $p$ 是 $q$ 的充分条件，但不是 $q$ 的必要条件．
【考点定位】等比数列的判定，柯西不等式，充分条件与必要条件．
【名师点睛】判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件 $p$ 能否推得条件 $q$ ，二是由条件 $q$ 能否推得条件 $p$ 。对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题。