2014_退役省自主命题 (2014·理)
17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分（即获得 -200 分）。设每次击鼓出现音乐的概率为 $\frac{1}{2}$，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为 $X$，求 $X$ 的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少。的原因。
【答案】（1）$P(X=-200)=\frac{1}{8}, P(X=10)=\frac{3}{8}, P(X=20)=\frac{3}{8}, P(X=100)=\frac{1}{8}$；②$p=\frac{511}{512}$；
（3）每盘所得分数的期望为负数，所以玩得越多，所得分数越少。
## 【解析】
试题分析：（1）本题属于独立重复试验问题，利用 $P_{n}(k)=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}$ 即可求得 $X$ 的分布列；②玩一盘游戏，没有出现音乐的概率为 $p_{0}=\frac{1}{8}$。＂玩二盘游戏，至少有一盘出现音乐＂的对立事件是＂玩三盘游戏，三盘都没有出现音乐＂由此可得＂玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐＂的概率；③
试题解答：（1）$P(X=-200)=\frac{1}{8}, P(X=10)=\frac{3}{8}, P(X=20)=\frac{3}{8}, P(X=100)=\frac{1}{8}$．所以 $X$ 的分布列为
| X | -200 | 10 | 20 | 100 |
|---|---|---|---|---|
| $p$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{1}{8}$ |
（2）玩一盘游戏，没有出现音乐的概率为 $p_{0}=\frac{1}{8}$，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为 $p=1-\left(\frac{1}{8}\right)^{3}=\frac{511}{512}$.
③由（1）得：$E X=(-200) \times \frac{1}{8}+10 \times \frac{3}{8}+20 \times \frac{3}{8}+100 \times \frac{1}{8}=-\frac{5}{4}$，即每盘所得分数的期望为负数，所以玩得越多，所得分数越少的可能性更大。
【考点定位】1、随机变量的分布列；2、独立重复事件的概率；3、统计知识．