（本小题满分 12 分） 某算法的程序框图如图所示，其中输…——2013 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（I）$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}$；（II）乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大，（III） 1
【解析】（I）变量 $x$ 是在 $1,2,3, \cdots, 24$ 这 24 个整数中等可能随机产生的一个数，故共有 24 种可能。
当 $x$ 从 $1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23$ 这 12 个数中产生时，输出 $y$ 的值为 1，故 $P_{1}=\frac{1}{2}$；
当 $x$ 从 $2,4,8,10,14,16,20,22$ 这 8 个数中产生时，输出 $y$ 的值为 2，故 $P_{2}=\frac{1}{3}$；
当 $x$ 从 $6,12,18,24$ 这 4 个数中产生时，输出 $y$ 的值为 3，故 $P_{3}=\frac{1}{6}$．
所以，输出 $y$ 的值为 1 的概率为 $\frac{1}{2}$，输出 $y$ 的個为 2 的概率为 $\frac{1}{3}$，输出 $y$ 的值为 3 的概率为 $\frac{1}{6}$．
（II）当 $n=2100$ 时，甲、乙所编程序各自输出 $y$ 的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频率如下：

输出 $y$ 的值为 1 的频率 输出 $y$ 的值为 2 的频率 输出 $y$ 的值为 3 的频率

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．
（III）若重复运行 3 次程序，输出 $y$ 的值为 2 的次数随机变量 $\xi$ 可能的取值为 $0,1,2,3$。

$$ P(\xi=0)=C_{3}^{0} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{0} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{8}{27} $$

$$ \begin{aligned} & P(\xi=1)=C_{3}^{1} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{1} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9} \\ & P(\xi=2)=C_{3}^{2} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{2} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{1}=\frac{2}{9} \\ & P(\xi=3)=C_{3}^{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{3} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{0}=\frac{1}{27} \end{aligned} $$

故 $\xi$ 的分布列为
］

所以，$E \xi=0 \times \frac{8}{27}+1 \times \frac{4}{9}+2 \times \frac{2}{9}+3 \times \frac{1}{27}=1$，
即 $\xi$ 的数学期望为 1．
【考点定位】本小题主要考查算法与程序框图、古典概率、独立重复试验、随机变量的分布列、数学期望、频数、频率等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方法解决实际问题的能力，考查数据处理能力、应用意识和创新意识。算法、统计、概率、分布列、数学期望等相关概念不熟，从超长的题干中提取数据被无关信息干扰，或计算出错。