（12分）（2016－山东）甲、乙两人组成＂星队＂参加猜成…——2016 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（12 分）（2016 •山东）甲、乙两人组成＂星队＂参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则＂星队＂得3分；如果只有一个人猜对，则＂星队＂得 1 分；如果两人都没猜对，则＂星队＂得 0 分。已知甲每轮猜对的概率是 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率是 $\frac{2}{3}$ ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假设＂星队＂参加两轮活动，求：
（I）＂星队＂至少猜对 3 个成语的概率；
（II）＂星队＂两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX。
【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列。
【专题】计算题；分类讨论；分类法；概率与统计．
【分析】（I）＂星队＂至少猜对 3 个成语包含＂甲猜对 1 个，乙猜对 2 个＂，＂甲猜对 2 个，乙猜对 1 个＂，＂甲猜对 2 个，乙猜对 2 个＂三个基本事件，进而可得答案；
（II）由已知可得：＂星队＂两轮得分之和为 X 可能为： $0,1,2,3,4,6$ ，进而得到 X 的分布列和数学期望。
【解答】解：（I）＂星队＂至少猜对 3 个成语包含＂甲猜对 1 个，乙猜对 2 个＂，＂甲猜对 2 个，乙猜对 1 个＂，＂甲猜对 2 个，乙猜对 2 个＂三个基本事件，
故概率
$\mathrm{P}=\mathrm{C}_{2}^{1} \cdot \frac{3}{4} \cdot\left(1-\frac{3}{4}\right) \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2} \cdot \mathrm{C}_{2}^{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot\left(1-\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{3}{4}\right)^{2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+$
$\frac{1}{4}=\frac{2}{3}$,
（II）＂星队＂两轮得分之和为 X 可能为： $0,1,2,3,4,6$ ，
则 $\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=\left(1-\frac{3}{4}\right)^{2} \cdot\left(1-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{144}$ ，

$P(X=1)=2 \times\left[\frac{3}{4} \cdot\left(1-\frac{3}{4}\right) \cdot\left(1-\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(1-\frac{3}{4}\right)^{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot\left(1-\frac{2}{3}\right) \quad\right]=\frac{10}{144}$ ，
$P(X=2)=\frac{3}{4} \cdot\left(1-\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{3}{4} \cdot\left(1-\frac{2}{3}\right)+\frac{3}{4} \cdot\left(1-\frac{2}{3}\right) \cdot\left(1-\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{2}{3}+ \left(1-\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot\left(1-\frac{2}{3}\right)+\left(1-\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{2}{3} \cdot\left(1-\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{2}{3}=\frac{25}{144}$,
$P(X=3)=2 \times \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot\left(1-\frac{3}{4}\right) \cdot\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{12}{144}$ ，
$P(X=4)=2 \times\left[\frac{3}{4} \cdot\left(1-\frac{3}{4}\right) \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\frac{2}{3} \cdot\left(1-\frac{2}{3}\right) \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\right]=\frac{60}{144}$
$P(X=6)=\left(\frac{3}{4}\right)^{2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{36}{144}$
故 X 的分布列如下图所示：

∴ 数学期望 $\mathrm{EX}=0 \times \frac{1}{144}+1 \times \frac{10}{144}+2 \times \frac{25}{144}+3 \times \frac{12}{144}+4 \times \frac{60}{144}+6 \times \frac{36}{144}=\frac{552}{144}=\frac{23}{6}$
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．