已知等差数列 a_ n 的前 n 项和 S_ n，公差 d…——2020 高考数学第 7 题答案解析

【分析】由已知利用等差数列的通项公式判断 $A$ 与 $C$ ；由数列递推式分别求得 $b_{2}, b_{4}$ ， $b_{6}, b_{8}$ ，分析 $B, D$ 成立时是否满足公差 $d \neq 0, \frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{~d}} \leqslant 1$ 判断 $B$ 与 $D$ ．
解：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ ，
$\mathrm{S}_{\mathrm{n}+2}=(\mathrm{n}+2) \mathrm{a}_{1}+\frac{(\mathrm{n}+2)(\mathrm{n}+1)}{2} \mathrm{~d}, \quad \mathrm{~S}_{2 \mathrm{n}}=2 \mathrm{na}_{1}+\frac{2 \mathrm{n}(2 \mathrm{n}-1)}{2} \mathrm{~d}$ ，
$b_{1}=S_{2}=2 a_{1}+d, \quad b_{n+1}=S_{n+2}-S_{2 n}=(2-\mathrm{n}) \mathrm{a}_{1}-\frac{3 \mathrm{n}^{2}-5 \mathrm{n}-2}{2} \mathrm{~d}$ ．
$\therefore b_{2}=a_{1}+2 d, \quad b_{4}=-a_{1}-5 d, \quad b_{6}=-3 a_{1}-24 d, \quad b_{8}=-5 a_{1}-55 d$ ．
A． $2 a_{4}=2\left(a_{1}+3 d\right)=2 a_{1}+6 d, a_{2}+a_{6}=a_{1}+d+a_{1}+5 d=2 a_{1}+6 d$ ，故 $A$ 正确；
B． $2 b_{4}=-2 a_{1}-10 d, \quad b_{2}+b_{6}=a_{1}+2 d-3 a_{1}-24 d=-2 a_{1}-22 d$,
若 $2 b_{4}=b_{2}+b_{6}$ ，则 $-2 a_{1}-10 d=-2 a_{1}-22 d$ ，即 $d=0$ ，不合题意，故 $B$ 错误；
C．若 $a_{4}{ }^{2}=a_{2} a_{8}$ ，则 $\left(\mathrm{a}_{1}+3 \mathrm{~d}\right)^{2}=\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{d}\right)\left(\mathrm{a}_{1}+7 \mathrm{~d}\right)$ ，
即 $a_{1}{ }^{2}+6 a_{1} d+9 d^{2}=a_{1}{ }^{2}+8 a_{1} d+7 d^{2}$ ，得 $a_{1} d=d^{2}$ ，
$\because d \neq 0, \therefore a_{1}=d$ ，符合 $\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{~d}} \leqslant 1$ ，故 $C$ 正确；
D．若 $b_{4}{ }^{2}=b_{2} b_{8}$ ，则 $\left(-a_{1}-5 d\right)^{2}=\left(a_{1}+2 d\right)\left(-5 a_{1}-55 d\right)$ ，
即 $2\left(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{~d}}\right)^{2}+25 \frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{~d}}+45=0$ ，则 $\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{~d}}$ 有两不等负根，满足 $\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{~d}} \leqslant 1$ ，故 $D$ 正确．
∴ 等式不可能成立的是 $B$ ．
故选：$B$ ．