（13 分）设函数 f(x)= x^ 2 2 -k ln…——2015 高考数学第 19 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．
【分析】（1）利用 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 或 $f^{\prime}(x) \leqslant 0$ 求得函数的单调区间并能求出极值；
（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．
【解答】解：（1）由 $f(x)=\frac{x^{2}}{2}-k \ln x(k>0)$
$f^{\prime}(x)=x-\frac{k}{x}=\frac{x^{2}-k}{x}$
由 $f^{\prime}(x)=0$ 解得 $x=\sqrt{k}$
$f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的情况如下：

所以，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(\sqrt{k},+\infty)$ ，单调递减区间为 $(0, \sqrt{k})$ ；
$f(x)$ 在 $x=\sqrt{k}$ 处的极小值为 $f(\sqrt{k})=\frac{k(1-\ln k)}{2}$ ，无极大值。
（2）证明：由（1）知，$f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的最小值为 $f(\sqrt{k}) =\frac{k(1-\ln k)}{2}$.
因为 $f(x)$ 存在零点，所以 $\frac{k(1-\ln k)}{2} \leqslant 0$ ，从而 $k \geqslant e$

当 $k=e$ 时，$f(x)$ 在区间 $(1, \sqrt{e})$ 上单调递减，且 $f(\sqrt{e})=0$
所以 $x=\sqrt{e}$ 是 $f(x)$ 在区间 $(1, \sqrt{e})$ 上唯一零点。
当 $k>e$ 时，$f(x)$ 在区间 $(0, \sqrt{e})$ 上单调递减，且 $\mathrm{f}(1)=\frac{1}{2}>0, \mathrm{f}(\sqrt{\mathrm{e}})=\frac{\mathrm{e}-\mathrm{k}}{2}<0$,
所以 $f(x)$ 在区间 $(1, \sqrt{e})$ 上仅有一个零点．
综上所述，若 $f(x)$ 存在零点，则 $f(x)$ 在区间 $(1, \sqrt{e}]$ 上仅有一个零点．
【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型。