2023_天津卷 (2023)
18．设随圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，右焦点为 $F$ ，已知 $\left|A_{1} F\right|=3,\left|A_{2} F\right|=1$ ．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点 $P$ 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 $A_{2} P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，若三角形 $A_{1} P Q$ 的面积是三角形 $A_{2} F P$ 面积的二倍，求直线 $A_{2} P$ 的方程．
【答案】（1）椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ，离心率为 $e=\frac{1}{2}$ ．
②$y= \pm \frac{\sqrt{6}}{2}(x-2)$ ．
## 【解析】
【分析】①由 $\left\{\begin{array}{l}a+c=3 \\ a-c=1\end{array}\right.$ 解得 $a=2, c=1$ ，从而求出 $b=\sqrt{3}$ ，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率．
（2）先设直线 $A_{2} P$ 的方程，与椭圆方程联立，消去 $y$ ，再由韦达定理可得 $x_{A_{2}} \cdot x_{P}$ ，从而得到 $P$ 点和 $Q$ 点坐标。由 $S_{\triangle A_{2} Q A_{1}}=S_{\triangle A_{1} P Q}+S_{\triangle A_{1} A_{2} P}=2 S_{\triangle A_{2} P F}+S_{\triangle A_{1} A_{2} P}$ 得 $2\left|y_{Q}\right|=3\left|y_{P}\right|$ ，即可得到关于 $k$ 的方程，解出 $k$ ，代入直线 $A_{2} P$ 的方程即可得到答案．
## 【小问 1 详解】
如图，
由题意得 $\left\{\begin{array}{l}a+c=3 \\ a-c=1\end{array}\right.$ ，解得 $a=2, c=1$ ，所以 $b=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$ ，
所以椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ，离心率为 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ ．
## 【小问 2 详解】
由题意得，直线 $A_{2} P$ 斜率存在，由椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 可得 $A_{2}(2,0)$ ，
设直线 $A_{2} P$ 的方程为 $y=k(x-2)$ ，
联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1 \\ y=k(x-2)\end{array}\right.$ ，消去 $y$ 整理得：$\left(3+4 k^{2}\right) x^{2}-16 k^{2} x+16 k^{2}-12=0$ ，
由韦达定理得 $x_{A_{2}} \cdot x_{P}=\frac{16 k^{2}-12}{3+4 k^{2}}$ ，所以 $x_{P}=\frac{8 k^{2}-6}{3+4 k^{2}}$ ，
所以 $P\left(\frac{8 k^{2}-6}{3+4 k^{2}},-\frac{-12 k}{3+4 k^{2}}\right), Q(0,-2 k)$ ．
所以 $S_{\triangle A_{2} Q A_{1}}=\frac{1}{2} \times 4 \times\left|y_{Q}\right|, S_{\triangle A_{2} P F}=\frac{1}{2} \times 1 \times\left|y_{P}\right|, S_{\triangle A_{1} A_{2} P}=\frac{1}{2} \times 4 \times\left|y_{P}\right|$ ，
所以 $S_{\triangle A_{2} Q A_{1}}=S_{\triangle A_{1} P Q}+S_{\triangle A_{1} A_{2} P}=2 S_{\triangle A_{2} P F}+S_{\triangle A_{1} A_{2} P}$ ，
所以 $2\left|y_{Q}\right|=3\left|y_{P}\right|$ ，即 $2|-2 k|=3\left|-\frac{12 k}{3+4 k^{2}}\right|$ ，
解得 $k= \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，所以直线 $A_{2} P$ 的方程为 $y= \pm \frac{\sqrt{6}}{2}(x-2)$ ．