2017 高考数学第 20 题答案解析

20．（13 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 是两个等差数列，记 $c_{n}=\max \left\{b_{1}-a_{1} n, b_{2}-a_{2} n, \ldots\right.$ ， $\left.b_{n}-a_{n} n\right\} ~(n=1,2,3, \ldots) ~$ 其中 $\max \left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}\right\}$ 表示 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}$ 这 $s$个数中最大的数．
（1）若 $a_{n}=n, b_{n}=2 n-1$ ，求 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 的值，并证明 $\left\{c_{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数 $M$ ，存在正整数 $m$ ，当 $n \geqslant m$ 时，$\frac{c_{n}}{n}>M$ ；或者存在正整数 $m$ ，使得 $c_{m}, c_{m+1}, c_{m+2}, \ldots$ 是等差数列。