（13 分）设 a_ n 和 b_ n 是两个等差数列，记…——2017 高考数学第 20 题答案解析

【考点】83：等差数列的性质； 8 B ：数列的应用．
【专题】32：分类讨论；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）分别求得 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{3}=3, b_{1}=1, b_{2}=3, b_{3}=5$ ，代入即可求得 $c_{1}$ ， $c_{2}, c_{3}$ ；由 $\left(b_{k}-n a_{k}\right)-\left(b_{1}-n a_{1}\right) \leqslant 0$ ，则 $b_{1}-n a_{1} \geqslant b_{k}-n a_{k}$ ，则

$\mathrm{c}_{\mathrm{n}}=\mathrm{b}_{1}-\mathrm{na}_{1}=1-\mathrm{n}, \quad \mathrm{c}_{\mathrm{n}+1}-\mathrm{c}_{\mathrm{n}}=-1$ 对 $\forall \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ 均成立；
②由 $\mathrm{b}_{\mathrm{i}}-\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \mathrm{n}=\left[\mathrm{b}_{1}+(\mathrm{i}-1) \mathrm{d}_{1}\right]-\left[\mathrm{a}_{1}+(\mathrm{i}-1) \mathrm{d}_{2}\right] \times \mathrm{n}=\left(\mathrm{b}_{1}-\mathrm{a}_{1} \mathrm{n}\right)+(\mathrm{i}-1)\left(\mathrm{d}_{2}-\mathrm{d}_{1}\right. \times n)$ ，分类讨论 $d_{1}=0, d_{1}>0, d_{1}<0$ 三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得 $c_{m}, c_{m+1}, c_{m+2}, \ldots$ 是等差数列；设 $\frac{c_{n}}{n}=A n+B+\frac{C}{n}$ 对任意正整数 $M$ ，存在正整数 $m$ ，使得 $n \geqslant m, \frac{c_{n}}{n}>M$ ，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数 $M$ ，存在正整数 $m$ ，使得当 $n \geqslant m$ 时，$\frac{c_{n}}{n}>M$ ．
【解答】解：（1）$a_{1}=1, a_{2}=2, a_{3}=3, b_{1}=1, b_{2}=3, b_{3}=5$ ，
当 $\mathrm{n}=1$ 时， $\mathrm{c}_{1}=\max \left\{\mathrm{b}_{1}-\mathrm{a}_{1}\right\}=\max \{0\}=0$ ，
当 $\mathrm{n}=2$ 时， $\mathrm{c}_{2}=\max \left\{\mathrm{b}_{1}-2 \mathrm{a}_{1}, \mathrm{~b}_{2}-2 \mathrm{a}_{2}\right\}=\max \{-1,-1\}=-1$ ，
当 $\mathrm{n}=3$ 时， $\mathrm{c}_{3}=\max \left\{\mathrm{b}_{1}-3 \mathrm{a}_{1}, \mathrm{~b}_{2}-3 \mathrm{a}_{2}, \mathrm{~b}_{3}-3 \mathrm{a}_{3}\right\}=\max \{-2,-3,-4\}=-2$ ，
下面证明：对 $\forall n \in N^{*}$ ，且 $n \geqslant 2$ ，都有 $c_{n}=b_{1}-n a_{1}$ ，
当 $n \in N^{*}$ ，且 $2 \leqslant k \leqslant n$ 时，
则 $\left(b_{k}-n a_{k}\right)-\left(b_{1}-n a_{1}\right)$ ，
$=[(2 k-1)-n k]-1+n$ ，
$=(2 k-2)-n(k-1)$ ，
$=(k-1)(2-n)$ ，由 $k-1>0$ ，且 $2-n \leqslant 0$ ，
则 $\left(b_{k}-n a_{k}\right)-\left(b_{1}-n a_{1}\right) \leqslant 0$ ，则 $b_{1}-n a_{1} \geqslant b_{k}-n a_{k}$ ，
因此，对 $\forall n \in N^{*}$ ，且 $n \geqslant 2, c_{n}=b_{1}-n a_{1}=1-n$ ，
$c_{n+1}-c_{n}=-1$,
$\therefore \mathrm{c}_{2}-\mathrm{c}_{1}=-1$ ，
$\therefore c_{n+1}-c_{n}=-1$ 对 $\forall n \in N^{*}$ 均成立，
∴ 数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）证明：设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公差分别为 $d_{1}, d_{2}$ ，下面考虑的 $c_{n}$ 取值，
由 $\mathrm{b}_{1}-\mathrm{a}_{1} \mathrm{n}, \mathrm{b}_{2}-\mathrm{a}_{2} \mathrm{n}, \ldots, \mathrm{b}_{\mathrm{n}}-\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{n}$ ，
考虑其中任意 $b_{i}-a_{i} n$ ，（ $i \in N^{*}$ ，且 $1 \leqslant i \leqslant n$ ），
则 $\mathrm{b}_{\mathrm{i}}-\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \mathrm{n}=\left[\mathrm{b}_{1}+(\mathrm{i}-1) \mathrm{d}_{1}\right]-\left[\mathrm{a}_{1}+(\mathrm{i}-1) \mathrm{d}_{2}\right] \times \mathrm{n}$ ，
$=\left(\mathrm{b}_{1}-\mathrm{a}_{1} \mathrm{n}\right)+(\mathrm{i}-1)\left(\mathrm{d}_{2}-\mathrm{d}_{1} \times \mathrm{n}\right)$ ，
下面分 $d_{1}=0, d_{1}>0, d_{1}<0$ 三种情况进行讨论，

（1）若 $d_{1}=0$ ，则 $b_{i}-a_{i} n=\left(b_{1}-a_{1} n\right)+(i-1) d_{2}$ ，
当若 $d_{2} \leqslant 0$ ，则 $\left(b_{i}-a_{i} n\right)-\left(b_{1}-a_{1} n\right)=(i-1) d_{2} \leqslant 0$ ，
则对于给定的正整数 $n$ 而言，$c_{n}=b_{1}-a_{1} n$ ，此时 $c_{n+1}-c_{n}=-a_{1}$ ，
∴ 数列 $\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列；
当 $d_{2}>0,\left(b_{i}-a_{i} n\right)-\left(b_{n}-a_{n} n\right)=(i-n) d_{2}>0$ ，
则对于给定的正整数 $n$ 而言，$c_{n}=b_{n}-a_{n} n=b_{n}-a_{1} n$ ，
此时 $c_{n+1}-c_{n}=d_{2}-a_{1}$ ，
∴ 数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 是等差数列；
此时取 $m=1$ ，则 $c_{1}, c_{2}, \ldots$ ，是等差数列，命题成立；
（2）若 $d_{1}>0$ ，则此时 $-d_{1} n+d_{2}$ 为一个关于 $n$ 的一次项系数为负数的一次函数，
故必存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $n \geqslant m$ 时，$-d_{1} n+d_{2}<0$ ，
则当 $n \geqslant m$ 时，$\left(b_{i}-a_{i} n\right)-\left(b_{1}-a_{1} n\right)=(i-1)\left(-d_{1} n+d_{2}\right) \leqslant 0, \quad\left(i \in N^{*}, \quad 1 \leqslant i\right. \leqslant \mathrm{n})$,

因此当 $n \geqslant m$ 时，$c_{n}=b_{1}-a_{1} n$ ，
此时 $c_{n+1}-c_{n}=-a_{1}$ ，故数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 从第 $m$ 项开始为等差数列，命题成立；
（3）若 $d_{1}<0$ ，此时 $-d_{1} n+d_{2}$ 为一个关于 $n$ 的一次项系数为正数的一次函数，故必存在 $s \in N^{*}$ ，使得 $n \geqslant s$ 时，$-d_{1} n+d_{2}>0$ ，

则当 $n \geqslant s$ 时，$\left(b_{i}-a_{i} n\right)-\left(b_{n}-a_{n} n\right)=(i-1)\left(-d_{1} n+d_{2}\right) \leqslant 0, \quad\left(i \in N^{*}, \quad 1 \leqslant i\right. \leqslant n)$,

因此，当 $n \geqslant s$ 时，$c_{n}=b_{n}-a_{n} n$ ，
此时 $=\frac{b_{n}-a_{n} n}{n}=-a_{n}+\frac{b_{n}}{n}$ ，
$=-d_{2} n+\left(d_{1}-a_{1}+d_{2}\right)+\frac{b_{1}-d_{2}}{n}$ ，
令 $-d_{1}=A>0, d_{1}-a_{1}+d_{2}=B, b_{1}-d_{2}=C$ ，
下面证明：$\frac{c_{n}}{n}=A n+B+\frac{C}{n}$ 对任意正整数 $M$ ，存在正整数 $m$ ，使得 $n \geqslant m, \frac{c_{n}}{n}>M$ ，若 $c \geqslant 0$ ，取 $m=\left[\frac{|M-B|}{A}+1\right],[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，
当 $n \geqslant m$ 时，$\frac{c_{n}}{n} \geqslant A n+B \geqslant A m+B=A\left[\frac{|M-B|}{A}+1\right]+B>A \cdot \frac{M-B}{A}+B=M$ ，
此时命题成立；

若 $c<0$ ，取 $m=\left[\frac{|M-C-B|}{A}\right]+1$ ，
当 $n \geqslant m$ 时，
$\frac{c_{n}}{n} \geqslant A n+B+\frac{C}{n} \geqslant A m+B+C>A \cdot \frac{|M-C-B|}{A}+B+C \geqslant M-C-B+B+C=M$,
此时命题成立，
因此对任意正数 $M$ ，存在正整数 $m$ ，使得当 $n \geqslant m$ 时，$\frac{c_{n}}{n}>M$ ；
综合以上三种情况，命题得证。
【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查＂放缩法＂的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．