2009_退役省自主命题 (2009·理)
21．（本小题满分 12 分）
已知点 $P_{1}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{8 b^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（ $b$ 为正常数）上任一点， $F_{2}$ 为双曲线的右焦点，过 $P_{1}$ 作右准线的垂线，垂足为 $A$ ，连接 $F_{2} A$并延长交 $y$ 轴于 $P_{2}$ ．
（1）求线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程；
②设轨迹 $E$ 与 $x$ 轴交于 $B , D$ 两点，在 $E$ 上任取一点 $Q\left(x_{1}, y_{1}\right)\left(y_{1} \neq 0\right)$ ，直线 $Q B, Q D$ 分别交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点．求证：以 $M N$ 为直径的圆过两定点．
【解答】
解：（1）由已知得 $F_{2}(3 b, 0), A\left(\frac{8}{3} b, y_{0}\right)$ ，则直线 $F_{2} A$ 的方程为：$y=-\frac{3 y_{0}}{b}(x-3 b)$ ，令 $x=0$ 得 $y=9 y_{0}$ ，即 $P_{2}\left(0,9 y_{0}\right)$ ，
设 $P(x, y)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{x_{0}}{2} \\ y=\frac{y_{0}+9 y_{0}}{2}=5 y_{0}\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}x_{0}=2 x \\ y_{0}=\frac{y}{5}\end{array}\right.$ 代入 $\frac{x_{0}{ }^{2}}{8 b^{2}}-\frac{y_{0}{ }^{2}}{b^{2}}=1$ 得：$\frac{4 x^{2}}{8 b^{2}}-\frac{y^{2}}{25 b^{2}}=1$ ，
即 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{2 b^{2}}-\frac{y^{2}}{25 b^{2}}=1$
（2）在 $\frac{x^{2}}{2 b^{2}}-\frac{y^{2}}{25 b^{2}}=1$ 中令 $y=0$ 得 $x^{2}=2 b^{2}$ ，则不妨设 $B(-\sqrt{2} b, 0), D(\sqrt{2} b, 0)$ ，
于是直线 $Q B$ 的方程为：$y=\frac{y_{1}}{x_{1}+\sqrt{2} b}(x+\sqrt{2} b)$ ，直线 $Q D$ 的方程为：$y=\frac{y_{1}}{x_{1}-\sqrt{2} b}(x-\sqrt{2} b)$ ，
则 $M\left(0, \frac{\sqrt{2} b y_{1}}{x_{1}+\sqrt{2} b}\right), N\left(0, \frac{-\sqrt{2} b y_{1}}{x_{1}-\sqrt{2} b}\right)$ ，
则以 $M N$ 为直径的圆的方程为：$x^{2}+\left(y-\frac{\sqrt{2} b y_{1}}{x_{1}+\sqrt{2} b}\right)\left(y+\frac{\sqrt{2} b y_{1}}{x_{1}-\sqrt{2} b}\right)=0$ ，
令 $y=0$ 得：$x^{2}=\frac{2 b^{2} y_{1}^{2}}{x_{1}^{2}-2 b^{2}}$ ，而 $Q\left(x_{1}, y_{1}\right)$ 在 $\frac{x^{2}}{2 b^{2}}-\frac{y^{2}}{25 b^{2}}=1$ 上，则 $x_{1}^{2}-2 b^{2}=\frac{2}{25} y_{1}^{2}$ ，
于是 $x= \pm 5 b$ ，即以 $M N$ 为直径的圆过两定点 $(-5 b, 0),(5 b, 0)$ ．