已知椭圆 C: y^ 2 a^ 2 + x^ 2 b^ 2…——2023 高考数学第 21 题答案解析

【答案】①$\frac{y^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{4}=1$
（2）证明见详解

## 【解析】

【分析】（1）根据题意列式求解 $a, b, c$ ，进而可得结果；
②设直线 $P Q$ 的方程，进而可求点 $M, N$ 的坐标，结合韦达定理验证 $\frac{y_{M}+y_{N}}{2}$ 为定值即可．

## 【小问 1 详解】

由题意可得 $\left\{\begin{array}{l}b=2 \\ a^{2}=b^{2}+c^{2} \\ e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}a=3 \\ b=2 \\ c=\sqrt{5}\end{array}\right.$ ，
所以椭圆方程为 $\frac{y^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{4}=1$ ．

## 【小问 2 详解】

由题意可知：直线 $P Q$ 的斜率存在，设 $P Q: y=k(x+2)+3, P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
联立方程 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x+2)+3 \\ \frac{y^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{4}=1\end{array}\right.$ ，消去 $y$ 得：$\left(4 k^{2}+9\right) x^{2}+8 k(2 k+3) x+16\left(k^{2}+3 k\right)=0$ ，
则 $\Delta=64 k^{2}(2 k+3)^{2}-64\left(4 k^{2}+9\right)\left(k^{2}+3 k\right)=-1728 k>0$ ，解得 $k<0$ ，
可得 $x_{1}+x_{2}=-\frac{8 k(2 k+3)}{4 k^{2}+9}, x_{1} x_{2}=\frac{16\left(k^{2}+3 k\right)}{4 k^{2}+9}$ ，
因为 $A(-2,0)$ ，则直线 $A P: y=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}(x+2)$ ，

令 $x=0$ ，解得 $y=\frac{2 y_{1}}{x_{1}+2}$ ，即 $M\left(0, \frac{2 y_{1}}{x_{1}+2}\right)$ ，

同理可得 $N\left(0, \frac{2 y_{2}}{x_{2}+2}\right)$ ，
$\frac{\frac{2 y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{2 y_{2}}{x_{2}+2}}{2}=\frac{\left[k\left(x_{1}+2\right)+3\right]}{x_{1}+2}+\frac{\left[k\left(x_{2}+2\right)+3\right]}{x_{2}+2}$
$=\frac{\left[k x_{1}+(2 k+3)\right]\left(x_{2}+2\right)+\left[k x_{2}+(2 k+3)\right]\left(x_{1}+2\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}=\frac{2 k x_{1} x_{2}+(4 k+3)\left(x_{1}+x_{2}\right)+4(2 k+3)}{x_{1} x_{2}+2\left(x_{1}+x_{2}\right)+4}$
$=\frac{\frac{32 k\left(k^{2}+3 k\right)}{4 k^{2}+9}-\frac{8 k(4 k+3)(2 k+3)}{4 k^{2}+9}+4(2 k+3)}{\frac{16\left(k^{2}+3 k\right)}{4 k^{2}+9}-\frac{16 k(2 k+3)}{4 k^{2}+9}+4}=\frac{108}{36}=3$,
所以线段 $P Q$ 的中点是定点 $(0,3)$ ．

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．