（14 分）已知椭圆 C: x^ 2 a^ 2 + y^…——2019 高考数学第 19 题答案解析

【分析】（I）由题意可得 $b=c=1$ ，由 $a, b, c$ 的关系，可得 $a$ ，进而得到所求椭圆方程；
（ II ）$y=k x+t$ 与椭圆方程 $x^{2}+2 y^{2}=2$ 联立，运用韦达定理，化简整理，结合直线恒过定点的求法，计算可得结论．

【解答】解：（I）椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的右焦点为 $(1,0)$ ，且经过点 $A(0,1)$ ．

可得 $b=c=1, a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}=\sqrt{2}$ ，
则椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ ；
（II）证明：$y=k x+t$ 与椭圆方程 $x^{2}+2 y^{2}=2$ 联立，可得 $\left(1+2 k^{2}\right) x^{2}+4 k t x+2 t^{2}-2=0$ ，设 $P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ， $\triangle=16 k^{2} t^{2}-4\left(1+2 k^{2}\right)\left(2 t^{2}-2\right)>0, x_{1}+x_{2}=-\frac{4 \mathrm{kt}}{1+2 \mathrm{k}^{2}}, x_{1} x_{2}=\frac{2 \mathrm{t}^{2}-2}{1+2 \mathrm{k}^{2}}$, $A P$ 的方程为 $y=\frac{\mathrm{y}_{1}-1}{\mathrm{x}_{1}} x+1$ ，令 $y=0$ ，可得 $y=\frac{\mathrm{x}_{1}}{1-\mathrm{y}_{1}}$ ，即 $M\left(\frac{\mathrm{x}_{1}}{1-\mathrm{y}_{1}}, 0\right)$ ； $A Q$ 的方程为 $y=\frac{\mathrm{y}_{2}-1}{\mathrm{x}_{2}} x+1$ ，令 $y=0$ ，可得 $y=\frac{\mathrm{x}_{2}}{1-\mathrm{y}_{2}}$ ．即 $N\left(\frac{\mathrm{x}_{2}}{1-\mathrm{y}_{2}}, 0\right)$ ． $\left(1-y_{1}\right)\left(1-y_{2}\right)=1+y_{1} y_{2}-\left(y_{1}+y_{2}\right)=1+\left(k x_{1}+t\right)\left(k x_{2}+t\right)-\left(k x_{1}+k x_{2}+2 t\right) =\left(1+t^{2}-2 t\right)+k^{2} \cdot \frac{2 \mathrm{t}^{2}-2}{1+2 \mathrm{k}^{2}}+(k t-k) \cdot\left(-\frac{4 \mathrm{kt}}{1+2 \mathrm{k}^{2}}\right)=\frac{(\mathrm{t}-1)^{2}}{1+2 \mathrm{k}^{2}}$ ， $|O M| \cdot|O N|=2$ ，即为 $\left|\frac{\mathrm{x}_{1}}{1-\mathrm{y}_{1}} \cdot \frac{\mathrm{x}_{2}}{1-\mathrm{y}_{2}}\right|=2$ ，即有 $\left|t^{2}-1\right|=(t-1)^{2}$ ，由 $t \neq \pm 1$ ，解得 $t=0$ ，满足 $\triangle>0$ ，即有直线 $l$ 方程为 $y=k x$ ，恒过原点 $(0,0)$ ．

【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．