（5分）已知 A， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M…——2015 高考数学第 11 题答案解析

【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设 $M$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的左支上，由题意可得 $M$ 的坐标为 $(-2 a$ ， $\sqrt{3} a)$ ，代入双曲线方程可得 $a=b$ ，再由离心率公式即可得到所求值．

【解答】解：设 $M$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的左支上，
且 $M A=A B=2 a, \angle M A B=120^{\circ}$ ，
则 M 的坐标为 $(-2 \mathrm{a}, \sqrt{3} \mathrm{a})$ ，
代入双曲线方程可得，
$\frac{4 a^{2}}{a^{2}}-\frac{3 a^{2}}{b^{2}}=1$,
可得 $a=b$ ，
$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{2} a$,
即有 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\sqrt{2}$ 。
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运

用任意角的三角函数的定义求得 M 的坐标是解题的关键．