2010 全国高考数学 2010_旧全国 II 卷 (2010·理) 第 21 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

21．（12分）已知斜率为1的直线 $\mid$ 与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 相交于B、 D 两点，且 BD 的中点为 $\mathrm{M}(1,3)$ ．
（I）求C的离心率；
（II）设C的右顶点为A，右焦点为F，$|\mathrm{DF}| \bullet|\mathrm{BF}|=17$ ，证明：过A、B、D三点的圆与 x 轴相切．

Accepted Answer

【考点】J9：直线与圆的位置关系； KC ：双曲线的性质； KH ：直线与圆锥曲线的综合。 【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题． 【分析】（ I ）由直线过点（ 1,3 ）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于 BD两点的中点为 $(1,3)$ ，可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 $a$ ，$b$ 的关系式即求得离心率． （II）利用离心率将条件 $|F A||F B|=17$ ，用含 $a$ 的代数式表示，即可求得 $a$ ，则 $A$点坐标可得（ 1,0 ），由于 $A$ 在 $x$ 轴上所以，只要证明 $2 A M=B D$ 即证得． 【解答】解：（I）由题设知，I的方程为：$y=x+2$ ，代入C的方程，并化简，得 $\left(b^{2}-a^{2}ight) x^{2}-4 a^{2} x-a^{2} b^{2}-4 a^{2}=0$ ， 设 $B\left(x_{1}, y_{1}ight), D\left(x_{2}, y_{2}ight)$ ，则 $x_{1}+x_{2}=\frac{4 a^{2}}{b^{2}-a^{2}}, x_{1} x_{2}=-\frac{4 a^{2}+a^{2} b^{2}}{b^{2}-a^{2}}$ ， 由 $M(1,3)$ 为 $B D$ 的中点知 $\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=1$ ． 故 $\frac{1}{2} 	imes \frac{4 a^{2}}{b^{2}-a^{2}}=1$ ，即 $b^{2}=3 a^{2}$ ， 故 $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2 a$ ， $	herefore$ C的离心率 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=2$ ． （II）由①②知， C 的方程为： $3 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}=3 \mathrm{a}^{2}, \mathrm{~A}(\mathrm{a}, 0), \mathrm{F}(2 \mathrm{a}, 0)$ ， $x_{1}+x_{2}=2, \quad x_{1} x_{2}=-\frac{4+3 a^{2}}{2}$. 故不妨设 $x_{1} \leq-a, ~ x_{2} \geq a$ ， $$ |B F|=\sqrt{\left(x_{1}-2 aight)^{2}+y_{1}^{2}}=a-2 x_{1}, \quad|F D|=\sqrt{\left(x_{2}-2 aight)^{2}+y_{2}^{2}}=2 x_{2}-a $$ $|B F| \cdot|F D|=\left(a-2 x_{1}ight) \quad\left(2 x_{2}-aigh…

2010 高考数学第 21 题答案解析

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