数列与函数综合　·　历年高考数学真题与解析

21．若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，公差 $d \in(0, \pi]$ ，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$b_{n}=\sin \left(a_{n}\right), n \in \mathbf{N}^{*}$ ，记 $S=\left\{x \mid x=b_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\right\}$ ．
①设 $a_{1}=0, d=\frac{2}{3} \pi$ ，求集合 $S$ ；
②设 $a_{1}=\frac{\pi}{2}$ ，试求 $d$ 的值，使得集合 $S$ 恰有两个元素；
（3）若集合 $S$ 恰有三个元素，且 $b_{n+T}=b_{n}$ ，其中 $T$ 为不超过 7 的正整数，求 $T$ 所有可能值。

10．（4分）已知 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列，且 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=\ln \left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)$ ，若 $a_{1}>1$ ，则（ ）

22．（15 分）已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1}=1, x_{n}=x_{n+1}+\ln \left(1+x_{n+1}\right)\left(n \in N^{*}\right)$ ，证明：当 $n \in \mathrm{N}^{*}$ 时，
（ I ） $0（II） $2 x_{n+1}-x_{n} \leqslant \frac{x_{n} x_{n+1}}{2}$ ；
（III）$\frac{1}{2^{n-1}} \leqslant x_{n} \leqslant \frac{1}{2^{n-2}}$ ．

19．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$，点 $\left(a_{n}, b_{n}\right)$ 在函数 $f(x)=2^{x}$ 的图象上 $\left(n \in N^{*}\right)$．
（1）若 $a_{1}=-2$，点 $\left(a_{8}, 4 b_{7}\right)$ 在函数 $f(x)$ 的图象上，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$；
（2）若 $a_{1}=1$，函数 $f(x)$ 的图象在点 $\left(a_{2}, b_{2}\right)$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2-\frac{1}{\ln 2}$，求数列 $\left\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\right\}$ 的

前 $n$ 项和 $T_{n}$．

23．（3 分 +6 分 +9 分）给定常数 $c>0$ ，定义函数 $f(x)=2|x+c+4|-|x+c|$ ，数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots$ 满足 $a_{n+1}=f\left(a_{n}\right), n \in N^{*}$ ．
（1）若 $a_{1}=-c-2$ ，求 $a_{2}$ 及 $a_{3}$ ；（2）求证：对任意 $n \in N^{*}, a_{n+1}-a_{n} \geq c$ ，；
（3）是否存在 $a_{1}$ ，使得 $a_{1}, a_{2}, \cdots a_{n}, \cdots$ 成等差数列？若存在，求出所有这样的 $a_{1}$ ，若不存在，说明理由．

23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题．第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分9分。

给定常数 $c>0$ ，定义函数 $f(x)=2|x+c+4|-|x+c|$ 。数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ 满足 $a_{n+1}=f\left(a_{n}\right), n \in N^{*}$ 。
（1）若 $a_{1}=-c-2$ ，求 $a_{2}$ 及 $a_{3}$ ；
（2）求证：对任意 $n \in N^{*}, \quad a_{n+1}-a_{n} \geq c$ ；

（3）是否存在 $a_{1}$ ，使得 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n} \ldots$ 成等差数列？若存在，求出所有这样的 $a_{1}$ ；若不存在，说明理由．

22．（12分）函数 $f(x)=x^{2}-2 x-3$ ，定义数列 $\{$
$\left.x_{n}\right\}$ 如下：$x_{1}=2, x_{n+1}$ 是过两点 $P(4,5), Q_{n}( \mathrm{x}_{\mathrm{n}}, \mathrm{f} x_{n}$ ））的直线 $P Q_{n}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
（I）证明： $2 \leq x_{n}（II）求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式。

7．定义在 $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ ，如果对于任意给定的等比数列 $\left\{a_{n}\right\},\{f \left.\left(a_{n}\right)\right\}$ 仍是等比数列，则称 $f(x)$ 为＂保等比数列函数＂。现有定义在 $(-\infty, 0) \cup(0,+ \infty$ ）上的如下函数：① $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}$ ；② $\mathrm{f}(\mathrm{x})=2^{\mathrm{x}}$ ；③$f(x)=\sqrt{|x|}$ ；④ $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln |\mathrm{x}|$ ．

则其中是＂保等比数列函数＂的 $f(x)$ 的序号为（ ）

7．定义在 $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ ，如果对于任意给定的等比数列 $\left\{a_{n}\right\},\{f \left.\left(a_{n}\right)\right\}$ 仍是等比数列，则称 $f(x)$ 为＂保等比数列函数＂。现有定义在 $(-\infty, 0) \cup(0,+ \infty)$ 上的如下函数：① $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}$ ；② $\mathrm{f}(\mathrm{x})=2^{\mathrm{x}}$ ；③$f(x)=\sqrt{|x|}$ ；④ $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln |\mathrm{x}|$ 。

则其中是＂保等比数列函数＂的 $f(x)$ 的序号为（ ）

17．（4分）（2011 • 浙江）若数列 $\left\{\mathrm{n}(\mathrm{n}+4)\left(\frac{2}{3}\right)^{\mathrm{n}}\right\}$ 中的最大项是第 k 项，则 $\mathrm{k}=4$