（5分）已知 F_ 1、 F_ 2 为双曲线 C: x^…——2012 高考数学第 8 题答案解析

【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】11：计算题．
【分析】根据双曲线的定义，结合 $\left|P F_{1}\right|=2\left|P F_{2}\right|$ ，利用余弦定理，即可求 $\cos \angle F { }_{1} \mathrm{PF}_{2}$ 的值。

【解答】解：将双曲线方程 $x^{2}-y^{2}=2$ 化为标准方程 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$ ，则 $a=\sqrt{2}, b=\sqrt{2}$ ， $\mathrm{c}=2$ ，

设 $\left|P F_{1}\right|=2\left|P F_{2}\right|=2 m$ ，则根据双曲线的定义，$\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=2 a$ 可得 $m=2 \sqrt{2}$ ，
$\therefore\left|P F_{1}\right|=4 \sqrt{2}, \quad\left|P F_{2}\right|=2 \sqrt{2}$ ，
$\because\left|\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}\right|=2 \mathrm{c}=4$ ，
$\therefore \cos \angle F_{1} P F_{2}=\frac{\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}-\left|F_{1} F_{2}\right|^{2}}{2\left|P F_{1}\right|\left|P F_{2}\right|}=\frac{32+8-16}{2 \times 4 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{2}}=\frac{24}{32}=\frac{3}{4}$ ．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．