（5分）设 F_ 1 , F_ 2 是双曲线 C: x^…——2018 高考数学第 11 题答案解析

【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程。
【分析】先根据点到直线的距离求出 $\left|P F_{2}\right|=b$ ，再求出 $|O P|=a$ ，在三角形 $F_{1} P F_{2}$ 中 ，由余弦定理可得 $\left|P F_{1}\right|^{2}=\left|P F_{2}\right|^{2}+\left|F_{1} F_{2}\right|^{2}-2\left|P F_{2}\right| \cdot\left|F_{1} F_{2}\right| \cos \angle P F_{2} \mathrm{O}$ ，代值化简整理可得 $\sqrt{3} a=c$ ，问题得以解决．

【解答】解：双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 . b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{b}{a} x$ ， ∴ 点 $\mathrm{F}_{2}$ 到渐近线的距离 $\mathrm{d}=\frac{\mathrm{bc}}{\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}}}=\mathrm{b}$ ，即 $\left|\mathrm{PF}_{2}\right|=\mathrm{b}$ ，
$\therefore|\mathrm{OP}|=\sqrt{\left|\mathrm{OF}_{2}\right|^{2}-\left|\mathrm{PF}_{2}\right|^{2}}=\sqrt{\mathrm{c}^{2}-\mathrm{b}^{2}}=\mathrm{a}, \quad \cos \angle \mathrm{PF}_{2} \mathrm{O}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$,

$\because\left|\mathrm{PF}_{1}\right|=\sqrt{6}|\mathrm{OP}|$ ，
$\therefore\left|\mathrm{PF}_{1}\right|=\sqrt{6} \mathrm{a}$ ，
在三角形 $F_{1} P F_{2}$ 中，由余弦定理可得 $\left|P F_{1}\right|^{2}=\left|P F_{2}\right|^{2}+\left|F_{1} F_{2}\right|^{2}-2\left|P F_{2}\right| \bullet\left|F_{1} F_{2}\right| \operatorname{COS} \angle P F { }_{2} \mathrm{O}$ ，
$\therefore 6 a^{2}=b^{2}+4 c^{2}-2 \times b \times 2 c \times \frac{b}{c}=4 c^{2}-3 b^{2}=4 c^{2}-3\left(c^{2}-a^{2}\right)$ ，
即 $3 a^{2}=c^{2}$ ，
即 $\sqrt{3} a=c$ ，
$\therefore \mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\sqrt{3}$ ，
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．