已知一个口袋有 m 个白球， n 个黑球（m, n N^…——2017 高考数学第 26 题答案解析

【解答】
（2017•江苏）已知一个口袋有 $m$ 个白球，$n$ 个黑球（ $m, n \in N^{*}, n \geqslant 2$ ），这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为 $1,2,3, \ldots, \mathrm{~m}+\mathrm{n}$ 的抽屉内，其中第 k 次取出的球放入编号为 k 的抽屉 $(k=1,2,3, \ldots, m+n)$ ．

（1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p ；
（2）随机变量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数， $\mathrm{E}(\mathrm{X})$ 是 X 的数学期望，证明 $E(X)<\frac{n}{(\pi+n)(n-1)}$ ．

【分析】①设事件 $A_{i}$ 表示编号为 $i$ 的抽屉里放的是黑球，则 $p=p\left(A_{2}\right)=p \left(A_{2} \mid A_{1}\right) P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2} \mid \overline{A_{1}}\right) P\left(\overline{A_{1}}\right)$ ，由此能求出编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率．
（2） X 的所有可能取值为 $\frac{1}{\mathrm{n}}, \frac{1}{\mathrm{n}+1}, \ldots, \frac{1}{\mathrm{n}+\mathrm{m}}, \mathrm{P}\left(\mathrm{x}=\frac{1}{\mathrm{k}}\right)=\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{k}-1}^{\mathrm{n}-1}}{\mathrm{C}_{\mathrm{m}+\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}}, \mathrm{k}=\mathrm{n}, \mathrm{n}+1$ ， $n+2, \ldots, n+m$ ，从而 $E(X)=\sum_{k=1}^{n+m}\left(\frac{1}{k} \cdot \frac{C_{k-1}^{n-1}}{C_{n+m}^{n}}\right)=\frac{1}{C_{n+m}^{n}} \cdot \sum_{k=n}^{n+m C_{k-1}^{n-1}} \frac{k}{k}$ ，由此能证明 $E (X)<\frac{n}{(m+n)(n-1)}$ ．
【解答】解：（1）设事件 $A_{i}$ 表示编号为 $i$ 的抽屉里放的是黑球，则 $\mathrm{p}=\mathrm{p}\left(\mathrm{A}_{2}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2} \mid \mathrm{A}_{1}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2} \mid \overline{\mathrm{A}_{1}}\right) \mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{A}_{1}}\right)$
$=\frac{n-1}{m+n-1} \times \frac{n}{m+n} \times \frac{n}{m+n-1} \times \frac{m}{m+n} =\frac{n^{2}-n+m n}{(m+n)(m+n-1)}=\frac{n}{m+n}$ ．
证明：（2）$\because x$ 的所有可能取值为 $\frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \ldots, \frac{1}{n+m}$ ， $P\left(x=\frac{1}{k}\right)=\frac{C_{k-1}^{n-1}}{C_{m+n}^{n}}, k=n, n+1, n+2, \ldots, n+m$ ，
$\therefore E(X)=\sum_{k=1}^{n+m}\left(\frac{1}{k} \cdot \frac{C_{k-1}^{n-1}}{C_{n+m}^{n}}\right)=\frac{1}{C_{n+m}^{n}} \cdot \sum_{k=n}^{n+m C_{k-1}^{n-1}} \frac{k}{k}$
$=\frac{1}{C_{n+m}^{n}} \cdot \sum_{k=n}^{n+m C_{k}^{r-1}} \frac{1}{k}<\frac{1}{C_{n+m}^{n}} \cdot \sum_{k=n}^{n+m C_{k-1}^{r-1}} \frac{1}{k-1}=\frac{1}{C_{n+m}^{n}} \cdot \sum_{k=n}^{n+m C_{k-2}^{r-2}} \frac{C_{k}^{r-2}}{n-1}$
$=\frac{1}{(n-1) C_{n+m}^{n}} \cdot\left(C_{n-2}^{n-2}+C_{n-1}^{n-2}+\cdots+C_{n+\pi-2}^{n-2}\right)$
$=\frac{1}{(n-1) C_{m+n}^{n}} \cdot C_{m+n-1}^{n-1}=\frac{n}{(m+n)(n-1)}$,
$\therefore E(X)<\frac{n}{(m+n)(n-1)}$ ．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．