18．（本小题满分 12 分）
某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y （单位： kg）与它的＂相近＂作物株数 X 之间的关系如下表所示：
| X | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Y | 51 | 48 | 45 | 42 |
这里，两株作物＂相近＂是指它们之间的直线距离不超过 1 米。
图4
（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好＂相近＂的概率；
（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。
参考答案(1) 所种植物的总数为 15，其中三角形内部有 3 株，边界上有 12 株；从三角形内部和边界上分别随机选取一株不同结果有 $C_{2}^{1} C_{12}^{1}=36$，满足条件的有 $3+3+2=8$；故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好＂相近＂的概率为 $\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$; (2) 先求从所种作物中选取的一株作物的年收获量 $Y$ 的分布列， 因为 $P(Y=51)=P(X=1), P(Y=48)=P(X=2), P(Y=45)=P(X=3), P(Y=42)=P(X=4)$,所以只需求出 $P(Y=51)=P(X=1), P(Y=48)=P(X=k)(k=1,2,3,4)$ 即可，记 $n_{k}$ 为其＂相近＂作物恰有 $k$ 株的作物株数，则 $n_{1}=2, n_{2}=4, n_{3}=6, n_{4}=3$；由 $P(x=k)=\frac{n_{k}}{N}$ 得 $P(x=1)=\frac{2}{15}, P(x=2)=\frac{4}{15}, P(x=3)=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}, P(x=4)=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$， 所求分布列为 | X | 51 | 48 | 45 | 43 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | P | $\frac{2}{15}$ | $\frac{4}{15}$ | $\frac{2}{5}$ | $\frac{1}{5}$ | 故所求期望 $E(Y)=46$