曲线 y=ln |x| 过坐标原点的两条切线的方程为 _…——2022 高考数学第 14 题答案解析

【答案】
①．$y=\frac{1}{\mathrm{e}} x$
②．$y=-\frac{1}{\mathrm{e}} x$

## 【解析】

【分析】分 $x>0$ 和 $x<0$ 两种情况，当 $x>0$ 时设切点为 $\left(x_{0}, \ln x_{0}\right)$ ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 $x_{0}$ ，即可求出切线方程，当 $x<0$ 时同理可得；

【详解】解：因为 $y=\ln |x|$ ，
当 $x>0$ 时 $y=\ln x$ ，设切点为 $\left(x_{0}, \ln x_{0}\right)$ ，由 $y^{\prime}=\frac{1}{x}$ ，所以 $\left.y^{\prime}\right|_{x=x_{0}}=\frac{1}{x_{0}}$ ，所以切线方程为
$y-\ln x_{0}=\frac{1}{x_{0}}\left(x-x_{0}\right)$,
又切线过坐标原点，所以 $-\ln x_{0}=\frac{1}{x_{0}}\left(-x_{0}\right)$ ，解得 $x_{0}=\mathrm{e}$ ，所以切线方程为 $y-1=\frac{1}{\mathrm{e}}(x-\mathrm{e})$ ，即 $y=\frac{1}{\mathrm{e}} x ;$

当 $x<0$ 时 $y=\ln (-x)$ ，设切点为 $\left(x_{1}, \ln \left(-x_{1}\right)\right)$ ，由 $y^{\prime}=\frac{1}{x}$ ，所以 $\left.y^{\prime}\right|_{x=x_{1}}=\frac{1}{x_{1}}$ ，所以切线方程为
$y-\ln \left(-x_{1}\right)=\frac{1}{x_{1}}\left(x-x_{1}\right)$,
又切线过坐标原点，所以 $-\ln \left(-x_{1}\right)=\frac{1}{x_{1}}\left(-x_{1}\right)$ ，解得 $x_{1}=-\mathrm{e}$ ，所以切线方程为 $y-1=\frac{1}{-\mathrm{e}}(x+\mathrm{e})$ ，即 $y=-\frac{1}{\mathrm{e}} x ;$
故答案为：$y=\frac{1}{\mathrm{e}} x ; y=-\frac{1}{\mathrm{e}} x$