设直线 l_ 1 , l_ 2 分别是函数 f(x)= a…——2016 高考数学第 10 题答案解析

【答案】A
【解析】
试题分析：设 $P_{1}\left(x_{1}, \ln x_{1}\right), P_{2}\left(x_{2},-\ln x_{2}\right)$（不妨设 $x_{1}>1,0

的斜率分别为 $k_{1}=\frac{1}{x_{1}}, k_{2}=-\frac{1}{x_{2}}$ ．由已知得 $k_{1} k_{2}=-1, \therefore x_{1} x_{2}=1, \therefore x_{2}=\frac{1}{x_{1}}$ ．∴ 切线 $l_{1}$ 的方程分别为 $y-\ln x_{1}=\frac{1}{x_{1}}\left(x-x_{1}\right)$ ，切线 $l_{2}$ 的方程为 $y+\ln x_{2}=-\frac{1}{x_{2}}\left(x-x_{2}\right)$ ，即 $y-\ln x_{1}=-x_{1}\left(x-\frac{1}{x_{1}}\right)$ ．分别令 $x=0$ 得 $\quad A\left(0,-1+\ln x_{1}\right), B\left(0,1+\ln x_{1}\right)$ 。又 $\quad l_{1}$ 与 $\quad l_{2}$ 的 交 点 为 $P\left(\frac{2 x_{1}}{1+x_{1}^{2}}, \ln x_{1}+\frac{1-x_{1}^{2}}{1+x_{1}^{2}}\right) \because x_{1}>1, \therefore S_{\Delta P A B}=\frac{1}{2}\left|y_{A}-y_{B}\right| \cdot\left|x_{P}\right|=\frac{2 x_{1}}{1+x_{1}^{2}}<\frac{1+x_{1}^{2}}{1+x_{1}^{2}}=1, \therefore 0

考点：1．导数的几何意义；2．两直线垂直关系；3．直线方程的应用；4．三角形面积取值范围．
【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点 $A, B$ 坐标，由两直线相交得出 $P$ 点坐标，从而求得面积，题中把面积用 $x_{1}$ 表示后，可得它的取值范围。解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论。这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用。