在平面直角坐标系 x O y 中，点 A 在曲线 y=ln…——2019 高考数学第 11 题答案解析

【解答】
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 在曲线 $y=\ln x$ 上，且该曲线在点 $A$ 处的切线经过点（－e，－ 1）（ e 为自然对数的底数），则点 $A$ 的坐标是

【答案】 $(e, 1)$ ．

【解析】

【分析】

设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标．
【详解】设点 $A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则 $y_{0}=\ln x_{0}$ ．又 $y^{\prime}=\frac{1}{x}$ ，
当 $x=x_{0}$ 时，$y^{\prime}=\frac{1}{x_{0}}$ ，

点 $A$ 在曲线 $y=\ln x$ 上的切线为 $y-y_{0}=\frac{1}{x_{0}}\left(x-x_{0}\right)$ ，

即 $y-\ln x_{0}=\frac{x}{x_{0}}-1$ ，

代入点 $(-e,-1)$ ，得 $-1-\ln x_{0}=\frac{-e}{x_{0}}-1$ ，

即 $x_{0} \ln x_{0}=e$ ，

考查函数 $H(x)=x \ln x$ ，当 $x \in(0,1)$ 时，$H(x)<0$ ，当 $x \in(1,+\infty)$ 时，$H(x)>0$ ，
且 $H^{\prime}(x)=\ln x+1$ ，当 $x>1$ 时，$H^{\prime}(x)>0, H(x)$ 单调递增，

注意到 $H(e)=e$ ，故 $x_{0} \ln x_{0}=e$ 存在唯一的实数根 $x_{0}=e$ ，此时 $y_{0}=1$ ，

故点 $A$ 的坐标为 $A(e, 1)$ ．
【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．