设 F_ 1 , F_ 2 为椭圆 C: x^ 2 5 +…——2023 高考数学第 7 题答案解析

【答案】B
【解析】
**方法一**：根据焦点三角形面积公式求出 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积，即可解出；
**方法二**：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
**方法一**：因为 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$ ，所以 $\angle F P_{1} F_{2}=90^{\circ}$ ，
从而 $S_{\triangle F P_{1} F_{2}}=b^{2} \tan 45^{\circ}=1=\frac{1}{2} \times\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|$ ，所以 $\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=2$ ．
故选：B．
**方法二**：
因为 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$ ，所以 $\angle F P_{1} F_{2}=90^{\circ}$ ，由椭圆方程可知，$c^{2}=5-1=4 \Rightarrow c=2$ ，
所以 $\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}=\left|F_{1} F_{2}\right|^{2}=4^{2}=16$ ，又 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=2 a=2 \sqrt{5}$ ，平方得：
$\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}+2\left|P F_{1}\right|\left|P F_{2}\right|=16+2\left|P F_{1}\right|\left|P F_{2}\right|=20$ ，所以 $\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=2$ 。
故选：B．