（12 分）（2008 • 四川）设椭圆 x ^ 2 a…——2008 高考数学第 21 题答案解析

【考点】椭圆的应用．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（I）设 $M\left(\sqrt{2} a, y_{1}\right), N\left(\sqrt{2} a, y_{2}\right)$ ，根据题意由 $\overrightarrow{F_{1} M} \cdot \overrightarrow{F_{2} N}=0$ 得 $y_{1} y_{2}=-\frac{3}{2} a^{2}<0$ ，由 $\left|\overrightarrow{F_{1} M}\right|=\left|\overrightarrow{F_{2} N}\right|=2 \sqrt{5}$ ，得 $\sqrt{\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} a\right)^{2}+y_{1}{ }^{2}}=2 \sqrt{5}$ ， $\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)^{2}+y_{2}{ }^{2}}=2 \sqrt{5}$ ，由此可以求出 $a, b$ 的值。
（II）$|M N|^{2}=\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=y_{1}{ }^{2}+y_{2}{ }^{2}-2 y_{1} y_{2} \geq-2 y_{1} y_{2}-2 y_{1} y_{2}=-4 y_{1} y_{2}=6 a^{2}$ 。当且仅当 $y_{1}=-y_{2}=\frac{\sqrt{6}}{2} a$ 或 $y_{2}=-y_{1}=\frac{\sqrt{6}}{2} a$ 时，$|M N|$ 取最小值 $\frac{\sqrt{6}}{2} a$ ，由能够推导出 $\overrightarrow{F_{1} M}+\overrightarrow{F_{2} N}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}}$ 共线．

【解答】解：由 $\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}=\mathrm{c}^{2}$ 与 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，得 $\mathrm{a}^{2}=2 \mathrm{~b}^{2}$ ， $F_{1}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} a, 0\right), F_{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} a, 0\right), 1$ 的方程为 $x=\sqrt{2} a$

设 $M\left(\sqrt{2} a, y_{1}\right), N\left(\sqrt{2} a, y_{2}\right)$
则 $\overrightarrow{F_{1} M}=\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} a, y_{1}\right), \overrightarrow{F_{2} N}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2} a, y_{2}\right)$

由 $\overrightarrow{F_{1} M} \cdot \overrightarrow{F_{2} N}=0$ 得 $y_{1} y_{2}=-\frac{3}{2} a^{2}<0$（1）
（I）由 $\left|\overrightarrow{F_{1} M}\right|=\left|\overrightarrow{F_{2} N}\right|=2 \sqrt{5}$ ，得
$\sqrt{\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} a\right)^{2}+y_{1}{ }^{2}}=2 \sqrt{5}$②$\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)^{2}+y_{2}{ }^{2}}=2 \sqrt{5}$③
由①、②、③三式，消去 $y_{1}, y_{2}$ ，并求得 $a^{2}=4$
故 $\mathrm{a}=2, \mathrm{~b}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
（II）证明：$|M N|^{2}=\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=y_{1}{ }^{2}+y_{2}{ }^{2}-2 y_{1} y_{2} \geq-2 y_{1} y_{2}-2 y_{1} y_{2}=-4 y_{1} y_{2}=6 a^{2}$
当且仅当 $y_{1}=-y_{2}=\frac{\sqrt{6}}{2} a$ 或 $y_{2}=-y_{1}=\frac{\sqrt{6}}{2} a$ 时，$|M N|$ 取最小值 $\frac{\sqrt{6}}{2} a$
此时，
$\overrightarrow{F_{1} M}+\overrightarrow{F_{2} N}=\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} a, y_{1}\right)+\left(\frac{\sqrt{2}}{2} a, y_{2}\right)=\left(2 \sqrt{2} a, y_{1}+y_{2}\right)=(2 \sqrt{2} a, 0)=2 \overrightarrow{F_{1} F_{2}}$故 $\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{M}}+\overrightarrow{\mathrm{F}_{2} \mathrm{~N}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}}$ 共线．

【点评】此题重点考查椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考查向量的综合应用；熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。