已知随圆 C: x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2…——2022 高考数学第 11 题答案解析

【答案】B
【解析】
【分析】根据离心率及 $\overrightarrow{B A_{1}} \cdot \overrightarrow{B A_{2}}=-1$ ，解得关于 $a^{2}, b^{2}$ 的等量关系式，即可得解．
【详解】解：因为离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{1}{3}$ ，解得 $\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{8}{9}, b^{2}=\frac{8}{9} a^{2}$ ，
$A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C$ 的左右顶点，则 $A_{1}(-a, 0), A_{2}(a, 0)$ ，
$B$ 为上顶点，所以 $B(0, b)$ ．
所以 $\overrightarrow{B A_{1}}=(-a,-b), \overrightarrow{B A_{2}}=(a,-b)$ ，因为 $\overrightarrow{B A_{1}} \cdot \overrightarrow{B A_{2}}=-1$
所以 $-a^{2}+b^{2}=-1$ ，将 $b^{2}=\frac{8}{9} a^{2}$ 代入，解得 $a^{2}=9, b^{2}=8$ ，
故椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$ ．
故选：B．