2021_新课标 I 卷 (2021)
17．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}+1, n \text { 为奇数，} \\ a_{n}+2, n \text { 为偶数．}\end{array}\right.$
（1）记 $b_{n}=a_{2 n}$ ，写出 $b_{1}, b_{2}$ ，并求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 20 项和．
【答案】①$b_{1}=2, b_{2}=5$ ；（2） 300 ．
## 【解析】
【分析】（1）根据题设中的递推关系可得 $b_{n+1}=b_{n}+3$ ，从而可求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项．
（2）根据题设中的递推关系可得 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 20 项和为 $S_{20}$ 可化为 $S_{20}=2\left(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{9}+b_{10}\right)-10$ ，利用
（1）的结果可求 $S_{20}$ ．
【详解】①由题设可得 $b_{1}=a_{2}=a_{1}+1=2, b_{2}=a_{4}=a_{3}+1=a_{2}+2+1=5$
又 $a_{2 k+2}=a_{2 k+1}+1, a_{2 k+1}=a_{2 k}+2$ ，
故 $a_{2 k+2}=a_{2 k}+3$ 即 $b_{n+1}=b_{n}+3$ 即 $b_{n+1}-b_{n}=3$
所以 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列，故 $b_{n}=2+(n-1) \times 3=3 n-1$ ．
②设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 20 项和为 $S_{20}$ ，则 $S_{20}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{20}$ ，
因为 $a_{1}=a_{2}-1, a_{3}=a_{4}-1, \cdots, a_{19}=a_{20}-1$ ，
所以 $S_{20}=2\left(a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{18}+a_{20}\right)-10$
$=2\left(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{9}+b_{10}\right)-10=2 \times\left(10 \times 2+\frac{9 \times 10}{2} \times 3\right)-10=300$.
【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题．