设 F_ 1 , F_ 2 分别为双曲线 x^ 2 a^…——2014 高考数学第 8 题答案解析

【答案】B

## 【解析】

试题分析：因为 $P$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 上一点，所以 $\left|\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|\right|=2 a$ ，又 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=3 b$所以，$\left(\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|\right)^{2}-\left(\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|\right)^{2}=9 b^{2}-4 a^{2}$ ，所以 $4\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=9 b^{2}-4 a^{2}$ ．

又因为 $\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=\frac{9}{4} a b$ ，所以有， $9 a b=9 b^{2}-4 a^{2}$ ，即 $9\left(\frac{b}{a}\right)^{2}-9\left(\frac{b}{a}\right)-4=0$ ，解得：$\frac{b}{a}=-\frac{1}{3}$（舍去），或 $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$ ；所以 $e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}=1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2}=1+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$ ，所以 $e=\frac{5}{3}$ ，故选 B．

考点：1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质．