2021_浙江卷 (2021)
16．已知随圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，焦点 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)(c>0)$ ，若过 $F_{1}$ 的直线和圆
$\left(x-\frac{1}{2} c\right)^{2}+y^{2}=c^{2}$ 相切，与椭圆在第一象限交于点 $P$ ，且 $P F_{2} \perp x$ 轴，则该直线的斜率是 $\_\_\_\_$
，椭圆的离心率是 $\_\_\_\_$。
【答案】
（1）．$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
（2）．$\frac{\sqrt{5}}{5}$
## 【解析】
【分析】不妨假设 $c=2$ ，根据图形可知， $\sin \angle P F_{1} F_{2}=\frac{2}{3}$ ，再根据同角三角函数基本关系即可求出 $k=\tan \angle P F_{1} F_{2}=\frac{2}{5} \sqrt{5}$ ；再根据椭圆的定义求出 $a$ ，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设 $c=2$ ，设切点为 $B$ ，
$\sin \angle P F_{1} F_{2}=\sin \angle B F_{1} A=\frac{|A B|}{\left|F_{1} A\right|}=\frac{2}{3}, \quad \tan \angle P F_{1} F_{2}=\frac{2}{\sqrt{3^{2}-2^{2}}}=\frac{2}{5} \sqrt{5}$
所以 $k=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，由 $k=\frac{\left|P F_{2}\right|}{\left|F_{1} F_{2}\right|},\left|F_{1} F_{2}\right|=2 c=4$ ，所以 $\left|P F_{2}\right|=\frac{8 \sqrt{5}}{5},\left|P F_{1}\right|=\left|P F_{2}\right| \times \frac{1}{\sin \angle P F_{1} F_{2}}=\frac{12 \sqrt{5}}{5}$ ，
于是 $2 a=\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=4 \sqrt{5}$ ，即 $a=2 \sqrt{5}$ ，所以 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{2 \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
故答案为：$\frac{2 \sqrt{5}}{5} ; \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．