（14分）（2011•北京）已知随圆 G: x^ 2 4…——2011 高考数学第 19 题答案解析

【考点】圆与圆锥曲线的综合。
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（I）由题意及椭圆和圆的标准方程，利用椭圆离心率的定义和点到直线的距离公式即可求解；
（II）由题意即 $m$ 得取值范围分 $m=1$ 时，$m=-1$ 及当 $m \neq \pm 1$ 三大类求出 $|A B|$ 的长度，利用直线方程与椭圆方程进行联立，利用根与系数的关系得到 k 与 m 之间关系等式，利用直线与圆相切的条件即可。
【解答】解：（I）由题意得 $a=2, ~ b=1$ ，所以 $c=\sqrt{3}$
∴ 椭圆 G 的焦点坐标 $(-\sqrt{3}, 0) \quad(\sqrt{3}, 0)$ 离心率 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（II）由题意知：$|\mathrm{m}| \geq 1$ ，
当 $m=1$ 时，切线 1 的方程为 $x=1$ ，点 $A\left(1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 点 $B\left(1,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 此时 $|A B|=\sqrt{3}$ ；
当 $m=-1$ 时，同理可得 $|A B|=\sqrt{3}$ ；
当 $|m|>1$ 时，设切线 1 的方程为：$y=k(x-m)$ ，由 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x-m) \\ \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\end{array} \Rightarrow\left(1+4 k^{2}\right) x^{2}-8 k^{2} m x+\right. 4 k^{2} m^{2}-4=0$,
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 则 $x_{1}+x_{2}=\frac{8 k^{2} m}{1+4 k^{2}}, x_{1} \cdot x_{2}=\frac{4 k^{2} m^{2}-4}{1+4 k^{2}}$
又由 1 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 相切：圆心到直线 $l$ 的距离等于圆的半径即 $\frac{|\mathrm{km}|}{\sqrt{1+\mathrm{k}^{2}}}=1 \Rightarrow \mathrm{~m}^{2}=\frac{1+\mathrm{k}^{2}}{\mathrm{k}^{2}}$ ，
所以 $|\mathrm{AB}|=$
$\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}=\sqrt{\left(1+k^{2}\right)\left[\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} \cdot x_{2}\right]} =\sqrt{\left(1+k^{2}\right) \cdot\left[\frac{64 k^{4} m^{2}}{\left(1+4 k^{2}\right)^{2}}-\frac{4\left(4 k^{2} m^{2}-4\right)}{1+4 k^{2}}\right]}=\frac{4 \sqrt{3}|m|}{m^{2}+3}$ ，由于当 $m= \pm 1$ 时，$|A B|=$
$\sqrt{3}$ ，

当 $m \neq \pm 1$ 时，$|A B|=\frac{4 \sqrt{3}|m|}{m^{2}+3}$ ，此时 $m \in(-\infty,-1] \cup[1,+\infty)$
又 $|A B|=\frac{4 \sqrt{3}|m|}{m^{2}+3}=\frac{4 \sqrt{3}}{|m|+\frac{3}{|m|}} \leq 2$（当且仅当 $m= \pm \sqrt{3}$ 时，$|A B|=2$ ），
所以，$|\mathrm{AB}|$ 的最大值为 2 ．
故 $|\mathrm{AB}|$ 的最大值为 2 ．
【点评】此题重点考查了椭圆及圆的标准方程，还考查了点到直线的距离公式，对于第二问，重点考查了利用 m 的范围分裂进行讨论，联立直线与椭圆的方程利用整体代换的思想建立 m 与 k 的关系等式，还考查两点间的距离公式及又 m 的范围解出 $|\mathrm{AB}|$ 的最值．