（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 x O y 中…——2012 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（1）由 $e=\sqrt{\frac{2}{3}}$ 得 $a^{2}=3 b^{2}$ ，椭圆方程为 $x^{2}+3 y^{2}=3 b^{2}$
椭圆上的点到点 Q 的距离 $d=\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{3 b^{2}-3 y^{2}+(y-2)^{2}}$

$$ =\sqrt{-2 y^{2}-4 y+4+3 b^{2}}(-b \leq y \leq b) $$

当①$-b \leq-1$ 即 $b \geq 1, d_{\text {max }}=\sqrt{6+3 b^{2}}=3$ 得 $b=1$
当②$-b>-1$ 即 $b<1, d_{\text {max }}=\sqrt{b^{2}+4 b+4}=3$ 得 $b=1$（舍）
$\therefore b=1$
∴ 椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$
②$S_{\triangle A O B}=\frac{1}{2}|O A| \cdot|O B| \sin \angle A O B=\frac{1}{2} \sin \angle A O B$
当 $\angle A O B=90^{\circ}, S_{\triangle A O B}$ 取最大值 $\frac{1}{2}$ ，
点 O 到直线 $l$ 距离 $d=\frac{1}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\therefore m^{2}+n^{2}=2$

又 $\because \frac{m^{2}}{3}+n^{2}=1$
解得：$m^{2}=\frac{3}{2}, n^{2}=\frac{1}{2}$
所以点 M 的坐标为 $\left(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 或 $\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 或 $\left(\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 或 $\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$\triangle A O B$ 的面积为 $\frac{1}{2}$