2012 高考数学第 20 题答案解析

20．（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率 $e=\sqrt{\frac{2}{3}}$ ，且椭圆 $C$ 上的点到点 $Q (0,2)$ 的距离的最大值为 3 ．
（1）求椭圆 $C$ 的方程
（2）在椭圆 $C$ 上，是否存在点 $M(m, n)$ ，使得直线 $l: m x+n y=1$ 与圆 $O: x^{2}+y^{2}=1$ 相交于不同的两点 $A$、 $B$ ，且 $\triangle O A B$ 的面积最大？若存在，求出点 $M$ 的坐标及对应的 $\triangle O A B$ 的面积；若不存在，请说明理由。