【解答】
答案：
（I）$\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；
（II）$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ；
（III）$\left(-\infty,-\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right) \cup\left(\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)$
解析过程：
（ I ）解：由已知有 $\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{3}$ ，又由 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ，可得 $a^{2}=3 c^{2}, b^{2}=2 c^{2}$ ．
设直线 $F M$ 的斜率为 $k(k \succ 0)$ ，则直线 $F M$ 的方程为 $y=k(x+c)$ ．
由已知，有 $\left(\frac{k c}{\sqrt{k^{2}+1}}\right)^{2}+\left(\frac{c}{2}\right)^{2}=\left(\frac{b}{2}\right)^{2}$ ，解得 $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．
（II）解：由（I）得椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{3 c^{2}}+\frac{y^{2}}{2 c^{2}}=1$ ，
直线 $F M$ 的方程为 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+c)$ ，
两个方程联立，消去 y ，整理得 $3 x^{2}+2 c x-5 c^{2}=0$ ，
解得 $x=-\frac{5}{3} c$ ，或 $x=c$ ．
因为点 M 在第一象限，可得 M 的坐标为 $\left(c, \frac{2 \sqrt{3}}{3} c\right)$ ．有 $|F M|=\sqrt{(c+c)^{2}+\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} c-0\right)^{2}}=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，
解得 $c=1$ ，所以椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ．
（III）解：设点 P 的坐标为 $(x, y)$ ，直线 FP 的斜率为 $t$ ，
得 $t=\frac{y}{x+1}$ ，即 $y=t(x+1)(x \neq-1)$ ，
与椭圆方程联立 $\left\{\begin{array}{l}y=t(x+1), \\ \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1,\end{array}\right.$ 消去 $y$,
整理得 $2 x^{2}+3 t^{2}(x+1)^{2}=6$ ．
又由已知，得 $t=\sqrt{\frac{6-2 x^{2}}{3(x+1)^{2}}}>\sqrt{2}$ ，
解得 $-\frac{3}{2}设直线 $O P$ 的斜率为 $m$ ，得 $m=\frac{y}{x}$ ，即 $y=m x(x \neq 0)$ ，
与椭圆方程联立，整理可得 $m^{2}=\frac{2}{x^{2}}-\frac{2}{3}$ ．
①当 $x \in\left(-\frac{3}{2},-1\right)$ 时，有 $y=t(x+1)<0$ ，
因此 $m>0$ ，于是 $m=\sqrt{\frac{2}{x^{2}}-\frac{2}{3}}$ ，得 $m \in\left(\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)$ ．
②当 $x \in(-1,0)$ 时，有 $y=t(x+1)>0$ ，
因此 $m<0$ ，于是 $m=-\sqrt{\frac{2}{x^{2}}-\frac{2}{3}}$ ，得 $m \in\left(-\infty,-\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)$ ．
综上，直线 $O P$ 的斜率的取值范围是 $\left(-\infty,-\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right) \cup\left(\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)$ ．