2013_退役省自主命题 (2013·理)
17．（本小题满分 12 分）
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 q 的等比数列．
（I）推导 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和公式；
（II）设 $\mathrm{q} \neq 1$，证明数列 $\left\{a_{n}+1\right\}$ 不是等比数列．
： （I）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 q，其前 n 项和为 $S_{n}=a_{1}+a_{1} q+\ldots+a_{1} q^{n-1} \ldots \ldots \ldots$（1 将①式两边分别乘以 q 得
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】：
（I）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 q，其前 n 项和为 $S_{n}=a_{1}+a_{1} q+\ldots+a_{1} q^{n-1} \ldots \ldots \ldots$（1
将①式两边分别乘以 q 得
$$ q S_{n}=a_{1} q+a_{1} q^{2}+\ldots+a_{1} q^{n} $$
①－②得 $(1-q) S_{n}=a_{1}-a_{1} q^{n}$
当 $q \neq 0$ 时 $S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}$ 或 $S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n} q}{1-q}$
当 $q=1$ 时，$a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}$，所以 $S_{n}=n a_{1}$
（ II ）方法一：
$\because q \neq 1$，假设数列 $\left\{a_{n}+1\right\}$ 为等比数列，那公 $\left(a_{2}+1\right)^{2}=\left(a_{1}+1\right) \cdot\left(a_{3}+1\right)$
即 $\left(a_{1} q+1\right)^{2}=\left(a_{1}+1\right) \cdot\left(a_{1} q^{2}+1\right) \Rightarrow a(q-1)=0 \Rightarrow a_{1}=0$ 或 $q=1$，均与题设矛盾，故数列 $\left\{a_{n}+1\right\}$不可能为等比数列。
**方法二**：$\because q \neq 1$，假设数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}+1\right\}$ 为等比数列，那公 $\left(\mathrm{a}_{k}+1\right)^{2}=\left(\mathrm{a}_{k-1}+1\right) \cdot\left(\mathrm{a}_{k+1}+1\right)$
即 $\left(a_{1} q^{k-1}+1\right)^{2}=\left(a_{1} q^{k-2}+1\right) \cdot\left(a_{1} q^{k}+1\right) \Rightarrow a_{1}(q-1)=0 \Rightarrow a_{1}=0$ 或 $q=1$，均与题设矛盾，故数列 $\left\{a_{n}+1\right\}$ 不可能为等比数列。
【解析】本题考查了等比数列前项和公式的推导，涉及参数 $q$ 分类讨论及错位相减法，体现高考题型源于教材的基本理念。而在第二问中要求证明数列不是等比数列，既考查了对等比数列概念的理解，又涉及到了反证法的应用；知识有机结合，考查综合能力问中对数列的证明可以采取特殊代替一般的方法，也可以通行通法的解题思怣判断一个娄外是否是等比数列一定要关注首项的验证，负责容易错误。
【考点定位】本题考查等比数列的前 n 项和公式推导和有关等比数列的证明．突出对教材重要内容的考查，引导回归教材，重视教材．属于容易题．