2013 全国高考数学 2013_退役省自主命题 (2013·理) 第 17 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

17．（本小题满分 12 分）
设 $\left\{a_{n}ight\}$ 是公比为 q 的等比数列．
（I）推导 $\left\{a_{n}ight\}$ 的前 n 项和公式；
（II）设 $\mathrm{q} 
eq 1$，证明数列 $\left\{a_{n}+1ight\}$ 不是等比数列．

Accepted Answer

(1) 式两边分别乘以 q 得 $$ q S_{n}=a_{1} q+a_{1} q^{2}+\ldots+a_{1} q^{n} $$ ①－; (2) 得 $(1-q) S_{n}=a_{1}-a_{1} q^{n}$ 当 $q 
eq 0$ 时 $S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-q^{n}ight)}{1-q}$ 或 $S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n} q}{1-q}$ 当 $q=1$ 时，$a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}$，所以 $S_{n}=n a_{1}$ （ II ）方法一： $\because q 
eq 1$，假设数列 $\left\{a_{n}+1ight\}$ 为等比数列，那公 $\left(a_{2}+1ight)^{2}=\left(a_{1}+1ight) \cdot\left(a_{3}+1ight)$ 即 $\left(a_{1} q+1ight)^{2}=\left(a_{1}+1ight) \cdot\left(a_{1} q^{2}+1ight) \Rightarrow a(q-1)=0 \Rightarrow a_{1}=0$ 或 $q=1$，均与题设矛盾，故数列 $\left\{a_{n}+1ight\}$不可能为等比数列。 **方法二**：$\because q 
eq 1$，假设数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}+1ight\}$ 为等比数列，那公 $\left(\mathrm{a}_{k}+1ight)^{2}=\left(\mathrm{a}_{k-1}+1ight) \cdot\left(\mathrm{a}_{k+1}+1ight)$ 即 $\left(a_{1} q^{k-1}+1ight)^{2}=\left(a_{1} q^{k-2}+1ight) \cdot\left(a_{1} q^{k}+1ight) \Rightarrow a_{1}(q-1)=0 \Rightarrow a_{1}=0$ 或 $q=1$，均与题设矛盾，故数列 $\left\{a_{n}+1ight\}$ 不可能为等比数列

2013 高考数学第 17 题答案解析

老师备课线索